Supongamos que existen soluciones enteras
Si $y<0$ resulta que $21^y$ no es entero, mientras que $x^{2008}+2008!$ sí. Luego, $y\geqslant 0$.
Tenemos $x^{2008}+2008!\equiv 0(21)\Rightarrow x^{2008}\equiv 0(21)\Rightarrow x\equiv 0(21)\Rightarrow x=21k$ para algún $k\in \mathbb{Z}$
Si $k=0$ resulta $2008!=21^y$, absurdo, pues $2\mid 2008!\wedge 2\not \mid 21^y$
Luego $|21k|\geqslant 21\Rightarrow 21^y=(21k)^{2008}+2008!>(21k)^{2008}\geqslant 21^{2008}$
Por lo tanto, $y>2008$
Tenemos $(21k)^{2008}+2008!\equiv 0(21^{2008})\Rightarrow 2008!\equiv 0(21^{2008})$ (*)
Como $7^4=2401>2008$ (se puede calcular a mano), entonces la cantidad de factores $7$ que aparecen en $2008!$ es $s=\left \lfloor \frac{2008}{7}\right \rfloor +\left \lfloor \frac{2008}{7^2}\right \rfloor +\left \lfloor \frac{2008}{7^3}\right \rfloor <300+50+10=360<2008\Rightarrow 21^{2008}\not \mid 2008!$
Entonces (*) es absurdo, y provino de suponer que había soluciones enteras.
Luego, la ecuación no tiene soluciones enteras.
Se puede hacer más "a mano", notando que como $21=3\cdot 7$ y $2008!$ es múltiplo de $3$ y de $7$, entonces $x$ es múltiplo de $3$ y $7$, pero entonces $x^{2008}$ es múltiplo de $3^{2008}$ y $7^{2008}$. Ahora la idea sería mirar el mínimo entre las máximas potencias de $3$ y $7$ que dividen a cada término del lado izquierdo, y como son distintos (Gianni hizo la cuenta para $7$, para $3$ es la misma idea) y el lado derecho dice que deben ser iguales, tenemos la contradicción.
