Zonal N2 P2 2018

[Joacoini]

Determinar todos los tríos ($a, b, c $) de números enteros positivos tales que:
$a=b^4+c^3$; $a$, $b$ y $c$ son números primos y $a\leq 2018$.

[mmnn]

Me dieron 3 posibles conjuntos.

[Fran5]

Lindo problema. Lástima que el enunciado sea muy confuso

Spoiler: mostrar

Claramente $a = b^4+c^3 \geq 2^4 +2^3 > 2+2 > 2$. Luego $a$ es impar

Como $b^4+c^3$ es impar, uno debe ser par y otro impar.
En particular, como las potencias conservan la paridad, entre $b$ y $c$ uno debe ser $2$ y el otro impar.

Acá se complica la cosa, pero como $a \leq 2018$ tenemos que $b^4+c^3 \leq 2018$.
En particular $b^4 \leq 2018-c^3 < 2018 < 7^4$, con lo cual $b < 7$.
Podemos usar esto para ver que $c < 13$

Esto nos deja los casos $b=2,3,5$ y $c=2,3,5,7,11$.

Son $6$ casitos y se puede ver que las únicas soluciones para $(a,b,c)$ son

$(43, 2, 3); (359, 2, 7); (89, 3, 2)$

[RESCATEMATEMATICO]

https://youtu.be/EfhvSr7hyHQ