En un triángulo $ABC$ la bisectriz del ángulo $BCA$ corta a la circunferencia circunscrita en $R$ ($R\neq C$), a la mediatriz de $BC$ en $P$ y a la mediatriz de $AC$ en $Q$. El punto medio de $BC$ es $K$ y el punto medio de $AC$ es $L$.
Demostrar que los triángulos $RPK$ y $RQL$ tienen áreas iguales.
Sea $O=PK\cap LQ$ y $G$ el punto medio de $CR$. Entonces $O$ es el circuncentro de $ABC$ y $OG\perp CR$. Además tenemos $\angle LCQ=\angle KCP$ por bisectriz y $\angle CLQ=\angle CKP=90^\circ$, luego, $CLQ\simeq CKP$, de dónde $\frac{KP}{LQ}=\frac{PC}{QC}$ y $\angle OQP=\angle LQC=\angle KPC$ por lo que $G$ es el punto medio de $PQ$ (ya que el triángulo $OPQ$ es isósceles en $O$ y $OG$ es altura). Luego, $QR=PC\wedge PR=QC\Rightarrow \frac{PR}{QR}=\frac{QC}{PC}$. Ahora$$\frac{[RPK]}{[RQL]}=\frac{PR\cdot KP\cdot \sin \angle RPK}{QR\cdot LQ\cdot \sin \angle RQL}=\frac{QC}{PC}\cdot \frac{PC}{QC}\cdot \frac{\sin \angle CQL}{\sin \angle CPK}=1\cdot 1\cdot 1=1.$$
Por lo tanto $[RPK]=[RQL]$.
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