OMCC 2018 - P1

[Gianni De Rico]

Se tienen $2018$ tarjetas numeradas desde $1$ hasta $2018$. Los números de las tarjetas son visibles todo el tiempo. Tito y Pepe juegan tomando una tarjeta en cada turno hasta que se acaben, empezando por Tito. Cuando terminan de tomar todas las tarjetas, cada uno suma los números de sus tarjetas, y aquel que obtenga como resultado un número par gana el juego. Determinar cuál jugador tiene una estrategia ganadora.

[Gianni De Rico]

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Gana Tito
Su estrategia es la siguiente. En su primer turno, toma una tarjeta con un número par y luego elige una tarjeta con un número de la misma paridad que el de la tarjeta que eligió Pepe. De esta forma, se asegura de tener exactamente $\left \lfloor \frac{1009}{2}\right \rfloor =504$ números impares y $\left \lfloor \frac{1009}{2}\right \rfloor =504$ números pares, y como ya tenía uno de su primer turno, en total tiene $505$ números pares. Luego, la suma de los números de Tito es $504\cdot 1+505\cdot 0\equiv 504\equiv 0(2)$

Esta estrategia de Tito es ganadora para $n$ cartas con $n\equiv 2(4)$