Ibero 2005 - P5

[Gianni De Rico]

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo de circuncentro $O$ y sea $A_1$ un punto en el arco $BC$ del circuncírculo de $ABC$ que no contiene a $A$. Sean $A_2$ y $A_3$ puntos en los lados $AB$ y $AC$ respectivamente tales que $B\widehat {A_1}A_2=O\widehat AC$ y $C\widehat {A_1}A_3=O\widehat AB$.
Demostrar que la recta $A_2A_3$ pasa por el ortocentro de $ABC$.

[Gianni De Rico]

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Sea $H$ el ortocentro de $ABC$, sea $X$ el simétrico de $H$ respecto de $CA$ y sea $Y$ el simétrico de $H$ respecto de $AB$, entonces $X,Y\in (ABC)$. Tenemos que\begin{align*}\angle BA_1Y & =\angle BCY=\angle BCH \\
& =90^\circ -\angle CBA \\
& =\angle OAC=\angle BA_1A_2,
\end{align*}con lo que $A_1,A_2,Y$ son colineales. Análogamente se tiene que $A_1,A_3,X$ son colineales. El resultado se sigue por Pascal en $BACYA_1X$.