Ibero 2005 - P6

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020
FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años
OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 2212
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 18
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Ibero 2005 - P6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Sea $n$ un entero positivo. Se marcan en una recta los puntos $A_1,A_2,\ldots ,A_{2n}$. Y se colorean los puntos de azul o rojo de la siguiente manera: Se dibujan $n$ circunferencias disjuntas dos a dos, cada una con diámetro $A_iA_j$ para $1\leqslant i<j\leqslant 2n$ de forma que cada punto $A_k$ pertenezca a exactamente una circunferencia. Dos puntos de la misma circunferencia se pintan del mismo color.
Determinar la cantidad de formas distintas de colorear los $2n$ puntos siguiendo este procedimiento.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020
FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años
OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 2212
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 18
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Ibero 2005 - P6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Spoiler: mostrar
Dos puntos se conectan si son el diámetro de una de las circunferencias. Dentro de cada circunferencia debe haber una cantidad par de puntos, pues en caso contrario quedaría un punto que debe conectarse con un punto de afuera de la circunferencia, luego, estas no son disjuntas, absurdo. Se sigue que si dos puntos se conectan entonces son de distinta paridad, luego, la cantidad de puntos pares pintados de rojo es la misma que la cantidad de puntos impares pintados de rojo. Como hay $n$ puntos pares y $n$ puntos impares, la cantidad de formas de elegir $2k$ puntos rojos es $\binom{n}{k}^2$, ya que para cada forma de elegr $k$ puntos rojos pares hay $\binom{n}{k}$ formas de elegir los puntos rojos impares, y hay $\binom{n}{k}$ formas de elegir los puntos rojos pares. Por lo tanto, la cantidad de formas de elegir los puntos rojos es $\sum \limits_{k=0}^n \binom{n}{k}^2=\binom{2n}{n}$.

Veamos que todas son alcanzables.
Dada una coloración, comenzando desde la izquierda conectamos cada punto con el primer punto de su color que aparezca, como la cantidad de puntos entre dos puntos del mismo color es par, entonces las circunferencias son todas disjuntas, y la coloración cumple con las condiciones del enunciado.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
Responder