El problema es equivalente a encontrar $(x ; y)$ tal que $2^{2x} + 5^y = \frac{a^2}{b^2}$ con $a$ y $b$ coprimos. caso x e y no negativos
$2^{2x} + 5^y$ es claramente entero lo que implica $b=1$
$2^{2x} + 5^y = a^2$ de aca vemos que $a$ no es multiplo de $5$ (excepto $y=0$), $5^y = (a-2^x)(a+2^x)$ esto implica
$a-2^x = 5^k$ y $a+2^x = 5^n$ sumando ambas ecuaciones $2a=5^k+5^n$ donde vemos que $a$ es múltiplo de 5 excepto que $k=0$ lo que implica
$a-2^x = 1$ y $a+2^x = 5^y$ veamos que $a=2^x+1=5^y-2^x$ lo que implica $2^{x+1}+1=5^y$ que es absurdo por el teorema de Mijailescu excepto el caso $(1 ; 1)$ que son soluciones.
si $y=0$ nos queda $2^{2x} + 1 = a^2$ que es absurdo por ser dos cuadrados consecutivos.
caso x no negativo e y negativo
$2^{2x} + \frac{1}{5^y} = \frac{2^{2x}5^y+1}{5^y} = \frac{a^2}{b^2}$
como $2^{2x}5^y+1$ es coprimo con $5^y$ y $a^2$ es coprimo con $b^2$ implica que $2^{2x}5^y+1 = a^2$ y $5^y = b^2 = 5^{2k}$
donde nos queda $2^{2x}5^{2k}+1 = a^2$ osea dos cuadrados consecutivos que es absurdo en naturales.
caso y no negativo y x negativo
$\frac{1}{2^{2x}} + 5^y = \frac{2^{2x}5^y+1}{2^{2x}} = \frac{a^2}{b^2}$
como $2^{2x}5^y+1$ es coprimo con $2^{2x}$ y $a^2$ es coprimo con $b^2$ implica que $2^{2x}5^y+1 = a^2$ y $2^{2x} = b^2$
$2^{2x}5^y+1 = a^2$ con $y$ impar (porque $y$ par yo lo habíamos resuelto) osea $2^{2x}5^y = (a-1)(a+1)$ como $a-1$ y $a+1$ son coprimos no nos quedan muchos casos
$a-1=2$ y $a+1 = 2^{2x-1}5^y$ que implica $4 = 2^{2x-1}5^y$ que es absurdo.
$a-1=5^y2$ y $a+1 = 2^{2x-1}$ como $5^y$ ($y$ impar) tiene resto $2$ modulo $3$ entonces de la primera ecuación tenemos $a$ con resto $2$ modulo $3$
y de la segunda ecuación tenemos que como $2^{2x-1}$ tiene resto $2$ entonces $a$ tiene resto $0$ modulo $3$ que contradice lo anterior.
$a-1=2^{2x-1}$ y $a+1 = 5^y2$ que implica $a=5^y + 2^{2x-2}$ osea que $a^2= 5^{2y} + 5^y2^{2x-1} + 2^{4x-2} = 5^y2^2x + 1$ que implica
$2^{4x-4} - 1 = 2^{2x-1}5^y - 5^{2y}$ factorizando nos queda $(2^{2x-2}-1)(2^{2x-2}+1)=5^y(2^{2x-1} - 5^y)$
como $2^{2x-2}-1$ y $2^{2x-2}+1$ no comparten el factor $5$ entonces $5^y$ dividirá a solo uno de ellos.
si $n5^y = 2^{2x-2}+1$ o $n5^y = 2^{2x-2}+1$ con $n$ mayor igual a $2$
entonces $\frac{2^{2x-1} - 5^y}{n}$ es como maximo $\frac{2^{2x-1} - 5^y}{2} = 2^{2x-2} + \frac{5^y}{2}$ que es mayor igual que $2^{2x-2}-1$ osea que $5^y$ es menor igual a $2$ absurdo excepto $y=0$ que no da soluciones.
si $5^y = 2^{2x-2} +1$ contradice el teorema de Mijailescu excepto el caso $y=1$ o $x=1$. Si $x=1$, $5^y = 2$ absurdo. Si $y=1$, $x=2$ que da la solución $(-2 ; 1)$.
si $5^y = 2^{2x-2} -1$ contradice el teorema de Mijailescu excepto el caso $y=1$ o $x=1$. Si $x=1$, $5^y = 0$ absurdo. Si $y=1$, $2^{2x-2}=6$ absurdo.
$a-1=5^y2^{2x-1}$ y $a+1 = 2$ que implica $0=5^y2^{2x-1}$ que es claramente absurdo.
caso x e y negativos
$\frac{1}{2^{2x}} + \frac{1}{5^y} = \frac{a^2}{b^2} = \frac{5^y+2^{2x}}{5^y2^{2x}}$
y como $5^y+2^{2x}$ es coprimo con $5^y2^{2x}$ y $a^2$ es coprimo con $b^2$ entonces $5^y2^{2x}=b^2$ lo que implica $y=2k$
$5^{2k}+2^{2x} = a^2$ donde $a$ es claramente impar entonces $2^{2x}=(a-5^{k})(a+5^{k})$
osea $a-5^{k} = 2^{n}$ y $a+5^{k} = 2^{m}$ sumando ambas $2a = 2^{n} + 2^{m}$ que implica $a = 2^{n-1} + 2^{m-1}$ como $a$ es impar implica que $n=1$ osea $a-5^{k} = 2$ y $a+5^{k} = 2^{2x-1}$ osea que $a = 5^k+2 = 2^{2x-1} - 5^k$ osea $5^k+1 = 2^{2x-2}$ que contradice el teorema de Mijailescu excepto el caso $k=1$ o $x=1$, si $k=1$, $6 = 2^{2x-2}$ absurdo, si $x=1$, $5^k+1 = 1$ absurdo.
viendo todos los casos solo nos queda las soluciones $(x ; y):$ $(1 ; 1)$, $(-2 ; 1)$ .
Última edición por ¿hola? el Dom 12 Ago, 2018 12:16 pm, editado 4 veces en total.
$a-1=2^{2x-1}$ y $a+1 = 5^y2$ de la primera ecuación obtenemos que tiene resto $1$ (si $x$ es mayor a $1$) modulo $4$ y de la segunda que $a$ tiene resto $3$ que contradice lo anterior, si $x=1$ tenemos $a=3$ lo que implica $4= 5^y2$ osea $2 = 5^y$ que es absurdo.
