Problema 4 Cono Sur 2018

[jujumas]

Para cada entero $n\geq 4$, se consideran $m$ subconjuntos $A_1,A_2,A_3,\ldots ,A_m$ de $\{1,2,3,\ldots, n\}$ tales que:
$A_1$ tiene un elemento
$A_2$ tiene dos elementos
$\vdots$
$A_m$ tiene $m$ elementos
y ninguno de estos subconjuntos está incluido en otro.
Encontrar el mayor valor posible de $m$.

[Heibor]

Spoiler: mostrar

Sea $A_1=1$, entonces $1$ no puede estar en ningún otro subconjunto.
Supongamos que para $m=n-1$ se puede, entonces $A_{n-1}$ contiene a todos los números menos el $1$, pero como $n>3$, $A_2$ esta incluido en $A_{n-1}$, por ende $m<n-1$
Veamos que para $m=n-2$ siempre se puede:
Los primeros $(n+1)/2$ (división entera) subconjuntos exceptuando $A_1$, serán de la forma:
$A_i={2,4,6,...,2(i-1),2(i-1)+1}$
Ahora defino los subconjuntos empezando por $A_{n-2}$ hasta $A_{(n-2)-(n+1)/2}$
Por comodidad sea $B_i=A_{n-2-i}$
$B_i=2,4,6,...,2i,2i+3,2i+4,...,n$
Para $n-2$, esto es $A_{n-2}={3,4,5,...,n-1,n}$
Es fácil ver que anda.