Se escriben en una fila todos los números enteros desde $1$ hasta $30000$:$$1234567891011121314\ldots 299982999930000$$Determinar cuántas veces aparece el número $2018$ en la sucesión de números escritos, o sea, cuántas veces aparecen el $2$, el $0$, el $1$ y el $8$ en forma consecutiva.
Joacoini escribió: ↑Jue 13 Sep, 2018 5:12 pm
Se escriben en una fila todos los números enteros desde $1$ hasta $30000$:
$1234567891011121314...299982999930000$
Determinar cuántas veces aparece el número $2018$ en la sucesión de números escritos, o sea, cuántas veces aparecen el $2$, el $0$, el $1$ y el $8$ en forma consecutiva.
Todos los números siguientes y los siguientes números inmediatos de los que están marcados con
1820
18020
18120
18220
18320
18420
18520
18620
18720
18820
18920
2018
12018
22018
20180
20181
20182
20183
20184
20185
20186
20187
20188
20189
8201
Dividimos al problema en cuatro casos:
1) El número termina con $2018$.
2) El número empieza en $2018$.
3) El número termina en $201$ y el siguiente empieza en $8$.
4) El número termina en $20$ y el siguiente empieza en $18$.
Vemos que para 1), hay $3$ casos. Estos son:
$2018$
$12018$
$22018$
Para 2) hay $10$ casos.
$20181$
$20182$
$20183$
$20184$
$20185$
$20186$
$20187$
$20188$
$20189$
$20180$
Entonces, en total, sumando la cantidad de casos de 1), 2), 3) y 4), obtenemos $11$ $+$ $1$ $+$ $10$$+$ $3$ = $25$, que es la cantidad de veces que $2018$ aparece en la sucesión.
Tengamos en cuenta todos los casos posibles, en donde T = termina con... y E = empieza con...
Primer caso: T 2018
Segundo caso: T 201, E 8
Tercer caso: T 20, E 18
Cuarto caso: T 2, E 018
Quinto caso: E 2018
En el primer caso, la respuesta es bastante intuitiva, pues simplemente ponemos números que nada más varían en la decena de mil. Estoy hablando de 2018, 12018 y 22018. [3]
En el segundo caso, la única respuesta posible será 8201, ya que el número obligatoriamente tiene que empezar con 8 (deducido a base de que no podemos saltar de 201 a 800 y algo) y terminar con 201. 82018202 [1]
En el tercer caso, el número siguiente puede rondar los 1800 como puede rondar los 18000. En el primer meta-caso, tenemos 1820 como única respuesta posible (18201821). En el segundo meta-caso, sabemos que comenzará con 18 y terminará en 20, pero la centena no está definida. Debido a esto, 18020, 18120, 18220, etc. serán respuestas válidas. Tendríamos, entonces, 11 posibilidades. [11]
El cuarto caso es imposible, pues al principio de la serie (12345678...) queda demostrado que el 0 no cuenta como cifra si está al comienzo. [0]
El quinto caso tiene 10 posibilidades, ya que sabemos que empieza con 2018 pero no con qué termina. Es decir, son válidos 20180, 20181, 20182... y, de hecho, están todos juntitos. [10]
18201821, 2018, 82018202, 12018, 18?2018?21, 22018, 2018?
en donde ? = cualquier dígito.
Sumamos todas las posibilidades y obtenemos que la respuesta es de 25 ocasiones.
¿Escucharon del tipo que se congeló hasta el cero absoluto? No se preocupen, está 0K. Gracias a toda la tangente que leyó mi mensaje.
Notemos que el $2018$ podría aparecer en las siguientes ocasiones:
$A$ . - El número termina en $2$ y empieza en $"018"$.
$B$. - El número termina en $20$ y empieza en $18$.
$C$. - El número termina en $201$ y empieza en $8$.
$D$. - El número termina o empieza en $2018$.
Ahora lo que nos queda hacer es contar cuántos números cumplen cada caso, y de esa forma tendríamos el número de veces que aparece $2018$ en esa tira de números.
Caso $A$) Por obvias razones es imposible, ningún número comienza en $"018"$, el $0$ del comienzo no se escribe.
Caso $B$)
¿Cuántos números de $4$ dígitos cumplen la condición?: Uno solo, $1820$. $\to$ $1$ número
¿Cuántos números de $5$ dígitos cumplen la condición?:
Podemos escribir lo siguiente: $18x20$, siendo $x$ un dígito.
Como hay 10 dígitos posibles que ocupen $x$, el "conteo" nos queda así: $1 * 10 * 1 = 10$. $\to$ $10$ números cumplen la condición.
Con $6$ dígitos es imposible hallar números, pues siempre van a ser mayores a $30000$ que tiene $5$ dígitos.
Entonces, en total hasta ahora tenemos $10 + 1 = 11$.
Caso $C$)
¿Cuántos números de $4$ dígitos cumplen la condición?: $8201$. $\to$ $1$ número
De $5$ dígitos no tenemos ninguno, pues si empieza en $8$ y tiene $5$ dígitos, por consecuencia el número es mayor a $30000$.
Caso $D$)
$4$ dígitos: $2018$.
$5$ dígitos:
Si el número termina con $2018$:
$x2018$ $\to$ Si $x > 2$ va a quedar un número más grande que $30000$, cosa que no queremos.
Simplemente vamos a contarlos a mano: $12018$, $22018$ $\to$ $2$ números.
Si el número empieza con $2018$:
$2018x$ $\to$ $1 * 10$ $\to$ $10$ números,
Entonces, nos quedan $1 + 2 + 10 = 13$ $\to$ números que cumplen la condición $D$
Ya simplemente nos queda sumar todo: $A + B + C + D = 0 + 11 + 1 + 13 = 25$
$2018$ aparece $25$ veces en total a lo largo de la tira de números escrita.