IMO 2001 - P5

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Gianni De Rico

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Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 13 Dic, 2018 12:44 pm

En el triángulo $ABC$, sean $P$ el pie de la bisectriz de $\angle BAC$ y $Q$ el pie de la bisectriz de $\angle ABC$. Se sabe que $\angle BAC=60°$ y que $AB+BP=AQ+QB$.
Hallar los posibles valores de los ángulos del triángulo $ABC$.
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Gianni De Rico

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Re: IMO 2001 - P5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 23 May, 2020 10:00 am

Solución:
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Sean $P'$ en la semirrecta $AB$ tal que $AP'=AB+BP$ y $Q'$ en la semirrecta $AC$ tal que $AQ'=AQ+QB$, y sea $\angle ABC=4\beta$.

Supongamos que $AQ'>AC$.
Notemos que $AP'=AQ'$, y como $\angle P'AQ'=\angle BAC=60°$, tenemos que $AP'Q'$ es equilátero, entonces la bisecetriz de $\angle P'AQ'$ es mediatriz de $P'Q'$, de donde $PP'=PQ'$. Además, sabemos que $BP'=BP$ y $BQ=QQ'$.
Tenemos entonces que $\angle BQQ'=\angle QAB+\angle QBA=60°+2\beta$, por lo tanto, $\angle QBQ'=\frac{180°-\angle BQQ'}{2}=\frac{180°-60°-2\beta}{2}=60°-\beta$, y así $\angle PBQ'=\angle CBQ'=\angle QBQ'-\angle QBC=60°-\beta -2\beta =60°-3\beta.$
Por otro lado, $\angle P'BQ'=180°-\angle ABQ-\angle QBQ'=180°-2\beta -(60°-\beta )=120°-\beta$, entonces $\angle BQ'P'=180°-\angle P'BQ'-\angle BP'Q'=180°-(120°-\beta )-60°=\beta$. También tenemos que $\angle PP'B=\angle P'PB=\frac{180°-\angle PBP'}{2}=\frac{4\beta}{2}=2\beta$, por lo que $\angle PQ'P'=\angle Q'P'P=\angle Q'P'B-\angle PP'B=60°-2\beta$, finalmente, $\angle PQ'B=\angle PQ'P'-\angle BQ'P'=60°-2\beta -\beta =60°-3\beta$, y así, $\angle PQ'B=\angle PBQ'$, de donde $PB=PQ'=PP'$, pero $PB=BP'$, entonces $PBP'$ es equilátero, luego, $\angle PBP'=60°=\angle BAC$, por lo que $AC\parallel BP\parallel BC$, absurdo pues $ABC$ es un triángulo. El absurdo proviene de suponer que $AQ'>AC$.
Si suponemos que $AQ'<AC$ pasa algo similar (hay que tener cuidado cuáles ángulos restamos, pero las cuentas son las mismas).

Entonces $AQ'=AC$, por lo tanto, $\angle ACB=\angle QCB=\angle QBC=2\beta$, entonces $60°+6\beta =180°$, de donde $\beta =20°$, finalmente $\angle A=60°$, $\angle B=80°$ y $\angle C=40°$, y estamos.
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