Maratón de Problemas de Geometría
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Joacoini
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Problema 96
Las circunferencias $\Omega$ y $\omega$ son tangentes internamente en el punto $C$. La cuerda $AB$ de $\Omega$ es tangente a $\omega$ en $E$, donde $E$ es el punto medio de $\overline{AB}$. Otro circunferencia, $\omega _1$ es tangente a $\Omega$, $\omega$ y $\overline{AB}$ en $D$, $Z$ y $F$ respectivamente. Las rectas $CD$ y $AB$ se cortan en $P$. Sí $M\neq C$ es el punto medio del arco mayor $AB$, demostrar que
Las circunferencias $\Omega$ y $\omega$ son tangentes internamente en el punto $C$. La cuerda $AB$ de $\Omega$ es tangente a $\omega$ en $E$, donde $E$ es el punto medio de $\overline{AB}$. Otro circunferencia, $\omega _1$ es tangente a $\Omega$, $\omega$ y $\overline{AB}$ en $D$, $Z$ y $F$ respectivamente. Las rectas $CD$ y $AB$ se cortan en $P$. Sí $M\neq C$ es el punto medio del arco mayor $AB$, demostrar que
tan$\angle ZEP=\frac{PE}{CM}$.
NO HAY ANÁLISIS.
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Gianni De Rico
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Solución 96
Última edición por Gianni De Rico el Sab 02 Feb, 2019 3:31 pm, editado 1 vez en total.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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Gianni De Rico
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Problema 97
Sea $\Gamma$ una circunferencia, $A$ un punto fuera de $\Gamma$ y $B$ un punto en $\Gamma$ tal que $AB$ es tangente a $\Gamma$. Sea $C$ un punto fuera de $\Gamma$ tal que el segmento $AC$ corta a $\Gamma$ en dos puntos distintos. Sea $\Omega$ la circunferencia tangente a $AC$ en $C$ y a $\Gamma$ en $D$. Si $B$ y $D$ están en distintos semiplanos respecto a $AC$, demuestre que el circuncentro de $\triangle BCD$ está en el circuncírculo de $\triangle ABC$.
Sea $\Gamma$ una circunferencia, $A$ un punto fuera de $\Gamma$ y $B$ un punto en $\Gamma$ tal que $AB$ es tangente a $\Gamma$. Sea $C$ un punto fuera de $\Gamma$ tal que el segmento $AC$ corta a $\Gamma$ en dos puntos distintos. Sea $\Omega$ la circunferencia tangente a $AC$ en $C$ y a $\Gamma$ en $D$. Si $B$ y $D$ están en distintos semiplanos respecto a $AC$, demuestre que el circuncentro de $\triangle BCD$ está en el circuncírculo de $\triangle ABC$.
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Solución 97:
- Spoiler: mostrar Sean $O$ el centro de $\Gamma$ y $P,Q,R$ las intersecciones de $AC$ con $DB$, $DO$ y la tangente a $\Gamma$ por $D$ respectivamente.
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Si X tiende a [math], [math] se seca.
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Problema 98:
Sea $ABC$ un triángulo de perímetro 4, con $AB<AC$. Sobre las semirrectas $AB$ y $AC$ se marcan puntos $X$ e $Y$ respectivamente tales que $AX=AY=1$. Los segmentos $BC$ y $XY$ se intersecan en $M$. Probar que el perímetro de $ABM$ es 2.
Sea $ABC$ un triángulo de perímetro 4, con $AB<AC$. Sobre las semirrectas $AB$ y $AC$ se marcan puntos $X$ e $Y$ respectivamente tales que $AX=AY=1$. Los segmentos $BC$ y $XY$ se intersecan en $M$. Probar que el perímetro de $ABM$ es 2.
Si X tiende a [math], [math] se seca.
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Joacoini
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Solución 98:
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Última edición por Joacoini el Mar 01 Nov, 2022 7:43 pm, editado 3 veces en total.
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Joacoini
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Problema 99:
Sea el punto $D$ en la recta $BC$ del triángulo $ABC$ tal que $CD=BC$ y $C$ está entre $B$ y $D$. El lado $CA$ se extiende más allá de $A$ hasta $E$ tal que $AE=2CA$. Probar que, si $AD=BE$, entonces $ABC$ es un triángulo rectángulo.
Sea el punto $D$ en la recta $BC$ del triángulo $ABC$ tal que $CD=BC$ y $C$ está entre $B$ y $D$. El lado $CA$ se extiende más allá de $A$ hasta $E$ tal que $AE=2CA$. Probar que, si $AD=BE$, entonces $ABC$ es un triángulo rectángulo.
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Gianni De Rico
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Perdón, pero subí un apunte de Simetría Central y la tengo que mandar jajaja.
Solución 99
Solución 99
Última edición por Monazo el Mar 19 Feb, 2019 6:12 pm, editado 1 vez en total.
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