Maratón de Problemas de Geometría
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Gianni De Rico
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Problema 103
Sea $O$ el centro del excírculo correspondiente al vértice $A$ del triángulo $ABC$, que es tangente al lado $BC$ en $A'$, a la recta $CA$ en $B'$ y a la recta $AB$ en $C'$. Las rectas $AB$ y $A'B'$ se cortan en el punto $P$.
Demostrar que $CC'$ es perpendicular a $OP$.
Sea $O$ el centro del excírculo correspondiente al vértice $A$ del triángulo $ABC$, que es tangente al lado $BC$ en $A'$, a la recta $CA$ en $B'$ y a la recta $AB$ en $C'$. Las rectas $AB$ y $A'B'$ se cortan en el punto $P$.
Demostrar que $CC'$ es perpendicular a $OP$.
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Problema 104:
Un hexágono convexo $ABCDEF$ cumple que $AB=DE$, $BC=EF$, $CD=FA$ y que $\angle A - \angle D = \angle E - \angle B = \angle C - \angle F$. Demostrar que $AD$, $BE$, y $CF$ concurren.
Un hexágono convexo $ABCDEF$ cumple que $AB=DE$, $BC=EF$, $CD=FA$ y que $\angle A - \angle D = \angle E - \angle B = \angle C - \angle F$. Demostrar que $AD$, $BE$, y $CF$ concurren.
Re: Maratón de Problemas de Geometría
Como no quiero que la maratón se quede trabada por mucho más, voy a largar dos hints para este problema. En particular, son pasos (sin su demostración) a una solución sintética.
Hint 1: Hint 2:
Hint 1: Hint 2:
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Gianni De Rico
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Solución 104
Verdaderamente, un G5 me parece un poco desproporcionado. Tratemos de mantener los problemas dentro de un nivel accesible para el público (?) en general.
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Gianni De Rico
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Problema 105
Sean $H$ el ortocentro del triángulo acutángulo $ABC$ y $M$ el punto medio de $BC$, se marcan los puntos $D$ y $E$ tales que $\angle ADM=\angle BDC=\angle CEB=\angle AEM=90^\circ$.
Demostrar que $D,E,H$ están alineados.
Sean $H$ el ortocentro del triángulo acutángulo $ABC$ y $M$ el punto medio de $BC$, se marcan los puntos $D$ y $E$ tales que $\angle ADM=\angle BDC=\angle CEB=\angle AEM=90^\circ$.
Demostrar que $D,E,H$ están alineados.
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Solución 105 (un poquito fea):
- Spoiler: mostrar Debido a la condición de los ángulos, podemos redefinir los puntos $D$ y $E$ como las intersecciones de los círculos con diámetros $BC$, $AM$, que llamaremos $\omega_1$, $\omega_2$. Entonces, queremos demostrar que $H\in DE$, o sea, $\text{Pot}_{\omega_1}(H)=\text{Pot}_{\omega_2}(H)$.
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
La solución es correcta, un pequeño detalle
Te toca proponer
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Mando uno hecho por mí.
Problema 106.
Sea $\omega$ el circuncírculo de un triángulo $ABC$. Sea $M$ el punto medio del arco $ABC$ y $N$ un punto en el arco $BM$ menor tal que $BN=2NM$ (medido en arcos). Sean $K$, $L$ las proyecciones (pies de las perpendiculares) de $N$ en $AB$, $BC$. Demostrar que $KL$ pasa por el centro de la circunferencia de los nueve puntos de $ABC$.
Problema 106.
Sea $\omega$ el circuncírculo de un triángulo $ABC$. Sea $M$ el punto medio del arco $ABC$ y $N$ un punto en el arco $BM$ menor tal que $BN=2NM$ (medido en arcos). Sean $K$, $L$ las proyecciones (pies de las perpendiculares) de $N$ en $AB$, $BC$. Demostrar que $KL$ pasa por el centro de la circunferencia de los nueve puntos de $ABC$.