ONEM 2018 - Fase 3 - Nivel 2 - P9

[Nando]

Sea $\omega$ una semicircunferencia fija de diámetro $AB=16$. Sea $P$ un punto variable del diámetro $AB$ y $Q$ el punto sobre $\omega$ tal que $QP$ es perpendicular a $AB$. Sea $M$ el punto medio del segmento $PQ$. La recta que pasa por $M$ y es perpendicular a $PQ$ corta a los arcos $AQ$ y $QB$ en los puntos $C$ y $D$, respectivamente ($C$ y $D$ están sobre $\omega$). ¿Cuál es el mayor valor posible de la diferencia de las áreas de los cuadriláteros $PMDB$ y $PMCA$?

[bruno]

Es trampa usar coordenadas cartesianas y ecuaciones de circunferencias para resolverlo?

[tuvie]

Es trampa usar coordenadas cartesianas y ecuaciones de circunferencias para resolverlo?

No, es perfectamente válido utilizar esas herramientas.

[Fran5]

No es tan necesario usar eso.

Spoiler: mostrar

Sea $O$ el punto medio de $AB$. Supongamos que $P$ esta entre $A$ y $O$.

La diferencia entre las áreas de los cuadriláteros $PMCA$ y $PMDB$ es igual a $4$ veces el area de $PMO$.
Luego esta diferencia es igual a $2 PM \cdot PO$.

Luego por GM-QM la diferencia máxima es $2 PM \cdot PO \leq \frac{(PM^2+PO^2)}{2} = \frac{r^2}{2} = \frac{8^2}{2}$

Que efectivamente se alcanza (qué me importa cuando... a mi me preguntaron el maximo de la diferencia)