Primer Pretorneo 2019 NJ P4

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Turko Arias

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Primer Pretorneo 2019 NJ P4

Mensaje sin leer por Turko Arias » Mié 01 May, 2019 10:10 pm

Facu tiene 5 monedas del mismo aspecto pero colores distintos, tres de ellas son auténticas y de igual peso, y las dos restantes son falsas: una pesa más que las auténticas y la otra pesa menos que las auténticas. En ambos casos, la diferencia de peso entre la auténtica y la falsa es el mismo. Facu le pide a un experto que efectúe tres pesadas, a elección de Facu, en una balanza de dos platos. A continuación el experto le informa a Facu los resultados. Explicar cómo puede elegir Facu las pesadas de modo que él pueda determinar con certeza las dos monedas falsas y cuál es más pesada y cuál más liviana que una auténtica.
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1000i Elizalde

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Re: Primer Pretorneo 2019 NJ P4

Mensaje sin leer por 1000i Elizalde » Mié 01 May, 2019 10:11 pm

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Le llamamos $"A"$ a cada una de las monedas auténticas, $"P"$ a la que pesa menos que una auténtica y $"M"$ a la que pesa más que una auténtica.
Sabemos que: $AA=MP, AA>AP, AM>AA, AM>AP$
El primer paso es poner dos monedas en cada plato:

PRIMER CASO: Si pesan lo mismo, es porque en un plato hay dos $A$ y en el otro hay $MP$, entonces el próximo paso es agarrar las dos de un mismo plato (sacamos las otras dos) y ponemos una en cada plato:
*Si ellas pesan lo mismo es porque las dos son $A$ entonces agarramos las dos que estaban en el otro plato y ponemos una en cada plato,la que pesa más es $M$ la que pesa menos $P$.
*Si pesan distinto la que pesa más es $M$ y la que pesa menos es $P$.

SEGUNDO CASO: Si pesan distinto agarramos las dos que están en el plato que pesa más (pueden ser $AA$ y entonces las que están en el otro plato son $AP$, o son $AM$ y las que están en el otro plato son $AA$ o $AP$) y ponemos a cada una en un plato (las dos que estaban en el otro plato quedan afuera separadas de la que nunca se pesó):
*Si pesan lo mismo son $AA$, entonces la que nunca se pesó es $M$, y agarramos las dos que estaban en el otro plato al principio y las pesamos, la que pesa más es $A$ y la otra $P$.
*Si pesan distinto la que pesa más es $M$ y la otra es $A$.Luego ponemos en cada pesa las dos que estaban en el otro plato en la primera pesada y si pesan lo mismo las dos son $A$ y la que nunca se pesó es $P$.

Esos son todos los casos, por lo que Facu siempre puede saber de que clase es cada moneda con solo tres pesadas.

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Gianni De Rico

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Re: Primer Pretorneo 2019 NJ P4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 01 May, 2019 10:36 pm

Ojo
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El problema es tramposo, lo que en realidad pasa es algo así:
$1)$ Facu le dice al experto tres pesadas que realizar.
$2)$ El experto hace las tres pesadas, sin importarle el resultado de cada una.
$3)$ El experto le dice a Facu los resultados.

Entonces nos queda (por ejemplo) algo de este estilo:
Facu numera las monedas de $1$ a $5$, le dice al experto que pese $1,2$ con $3,4$, después $1$ con $2$ y después $3$ con $5$.
Y Facu se entera los resultados una vez que ya terminaron todas las pesadas.

Lo que queremos es tener un procedimiento que siempre nos garantice poder descubrir cuál moneda es la pesada y cuál es la liviana, sin importar si son (por ejemplo) $1$ y $5$ o $3$ y $4$.
[math]

usuario250

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Re: Primer Pretorneo 2019 NJ P4

Mensaje sin leer por usuario250 » Vie 03 May, 2019 3:04 pm

Pesadas:
Spoiler: mostrar
1) 1,2 vs 3,4
2) 1 vs 2
3) 3 vs 4
sketch de la justificación:
Spoiler: mostrar
Con los datos de la primer pesada hay 3 probabilidades:
1) si en 1) pesan igual es porque estás pesando la liviana y la pesada contra dos verdaderas (ejercicio para el lector). en base a los pesos de 2) y 3) podés descubrir qué par es el de verdaderas y qué par es el de pesada y liviana (además de saber cuál es la liviana y la pesada).
2) si 1,2 pesa más que 3,4 (el caso inverso es análogo). Esto significa que la pesada está en 1,2 (o es 5) y/o la liviana está en 3,4 (o es 5).
Pesando 1 vs 2 podemos determinar si la pesada es 1, 2 o 5.
Pesando 3 vs 4 podemos determinar si la liviana es 3, 4 o 5.

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