Facu tiene $5$ monedas del mismo aspecto pero colores distintos, tres de ellas son auténticas y de igual peso, y las dos restantes son falsas: una pesa más que las auténticas y la otra pesa menos que las auténticas. En ambos casos, la diferencia de peso entre la auténtica y la falsa es el mismo. Facu le pide a un experto que efectúe tres pesadas, a elección de Facu, en una balanza de dos platos. A continuación el experto le informa a Facu los resultados. Explicar cómo puede elegir Facu las pesadas de modo que él pueda determinar con certeza las dos monedas falsas y cuál es más pesada y cuál más liviana que una auténtica.
Tengo $3$ monedas autenticas que tienen un peso $p$, tengo una moneda falsa pesada con un peso $p+d$ y una falsa liviana que pesa $p-d$ donde $d$ es la diferencia de peso que especifica el problema. Ahora el metodo para encontrar la pesada y la liviana seria el siguiente:
Para la primer pesada pongo $2$ monedas en cada plato y dejo $1$ de las $5$ monedas de lado por el resto del problema. Las posibles opciones dependeran de la moneda que deje de lado:
- Supongamos que dejo de lado una autentica.
En este caso las $4$ restantes son dos autenticas, la pesada y la liviana. Aqui hay dos opciones:
opcion A) Pongo la liviana y la pesada en el mismo plato y las autenticas en el otro plato. Aqui habra un EQUILIBRIO ya que ambos platos pesaran $2p$
opcion B) Pongo la liviana con una autentica en un plato y la pesada y una autentica en el otro. Aqui hay un DESEQUILIBRIO y el plato que pesa mas es el segundo
- Supongamos que dejo de lado la liviana.
En este caso las $4$ restantes son tres autenticas y la pesada . Aqui hay una opcion:
opcion C) Pongo dos autenticas en un plato y la pesada y una autentica en el otro. Aqui habra un DESEQUILIBRIO y el plato que pesa mas es el segundo.
- Supongamos que dejo de lado la pesada.
En este caso las $4$ restantes son tres autenticas y la liviana. Aqui hay una opcion:
opcion D) Pongo dos autenticas en un plato y la liviana y una autentica en el otro. Aqui habra un DESEQUILIBRIO y el plato que pesa mas es el primero.
En todos los casos salvo el A tengo un desequilibrio en la primer pesada. Para la segunda y tercer pesada hago esto: comparo las monedas del plato mas pesado de la primer pesada entre si en la segunda pesada y comparo las monedas del plato mas liviano de la primer pesada en si en la tercer pesada.
Si estoy en el caso B) comparo la pesada con la autentica en la segunda (tengo la pesada) y comparo la liviana con la autentica en la tercer pesada (tengo la liviana)
Si estoy en el caso C) comparo la pesada con la autentica en la segunda (tengo la pesada) y comparo dos autenticas en la tercera (hay equilibrio, luego la liviana es la que deje de lado)
Si estoy en el caso D) comparo dos autenticas en la segunda (hay equilibrio, luego la pesada es la que deje de lado) y compara la liviana con la autentica en la tercer pesada (tengo la liviana)
Si estoy en el caso A) en un plato tengo dos autenticas y en el otro la pesada y la liviana. Si comparo las dos autenticas (equilibrio) se que las otras dos son la pesada y la liviana. En la tercer pesada las comparo entre si y se cual es la pesada y cual la liviana.
En cualquier caso puedo identificar las monedas falsas con el procedimiento anterior:
Primer pesada) Poner $2$ monedas en cada plato y dejar la otra de lado. Si ocurre un equilibrio, la segunda y tercer pesada son indiferentes.
Segunda pesada) Comparar entre si las $2$ monedas del plato mas pesado en la primer pesada
Tercer pesada) Comparar entre si las $2$ monedas del plato mas liviano en la primer pesada.
A partir de ahi se dan $5$ resultados diferentes entre si(primer pesada-segunda pesada-tercer pesada) y en cada caso se puede identificar la pesada y la liviana
1) La mas pesada es la mas pesada en la tercer pesada. La mas liviana es la mas liviana en la tercer pesada.
2) La mas pesada es la mas pesada en la segunda pesada. La mas liviana es la mas liviana en la segunda pesada
3) La mas pesada es la mas pesada en la segunda pesada. La mas liviana es la mas liviana en la tercer pesada.
4) La mas pesada es la mas pesada en la segunda pesada. La mas liviana es la que deje de lado.
5) La mas pesada es la que deje de lado. La mas liviana es la mas liviana en la tercer pesada.
Primero pesamos dos monedas en cada balanza. Sabemos por enunciado que no puede quedar balanceado salvo en el caso de que las dos falsas estén juntas
(ya que las diferencias son iguales, por tanto se cancelan).
En ese caso basta con pesar en dos tandas los pares de monedas y así determinar cuáles son las más pesadas.
En el resto de los casos, por Palomar tenemos que al menos una de las dos monedas falsas está siendo por lo que una balanza pesará más.
Ahora vemos que tenemos tres posibles casos:
1. Que la moneda sin pesar sea falsa y liviana.
2. Que la moneda sin pesar sea falsa y pesada.
3. Que la moneda sin pesar sea auténtica.
En el primer caso la balanza que contenga la moneda más pesada pesará más. Por lo tanto basta pesar el lado más liviano y ver que son iguales, pesar el lado más pesado para determinar la más pesada y por último sabemos que la más liviana no fue pesada.
Análogamente, si pesamos la combinación dos, la balanza más pesada contendrá dos monedas iguales (que lo comprobaremos pesándolas), pesaremos por tercera vez para determinar la más liviana y listo.
Por último, sacando el caso que las dos monedas falsas estén del mismo lado, sabemos que en el lado más pesado tenemos una moneda auténtica y la más pesada (determinamos cada una pesándolas) y del otro lado una moneda auténtica y la más liviana, que también las determinamos pesándolas.
Primero pesamos dos monedas en cada balanza. Sabemos por enunciado que no puede quedar balanceado salvo en el caso de que las dos falsas estén juntas
(ya que las diferencias son iguales, por tanto se cancelan).
En ese caso basta con pesar en dos tandas los pares de monedas y así determinar cuáles son las más pesadas.
En el resto de los casos, por Palomar tenemos que al menos una de las dos monedas falsas está siendo por lo que una balanza pesará más.
Ahora vemos que tenemos tres posibles casos:
1. Que la moneda sin pesar sea falsa y liviana.
2. Que la moneda sin pesar sea falsa y pesada.
3. Que la moneda sin pesar sea auténtica.
En el primer caso la balanza que contenga la moneda más pesada pesará más. Por lo tanto basta pesar el lado más liviano y ver que son iguales, pesar el lado más pesado para determinar la más pesada y por último sabemos que la más liviana no fue pesada.
Análogamente, si pesamos la combinación dos, la balanza más pesada contendrá dos monedas iguales (que lo comprobaremos pesándolas), pesaremos por tercera vez para determinar la más liviana y listo.
Por último, sacando el caso que las dos monedas falsas estén del mismo lado, sabemos que en el lado más pesado tenemos una moneda auténtica y la más pesada (determinamos cada una pesándolas) y del otro lado una moneda auténtica y la más liviana, que también las determinamos pesándolas.
El problema es tramposo, lo que en realidad pasa es algo así:
$1)$ Facu le dice al experto tres pesadas que realizar.
$2)$ El experto hace las tres pesadas, sin importarle el resultado de cada una.
$3)$ El experto le dice a Facu los resultados.
Entonces nos queda (por ejemplo) algo de este estilo:
Facu numera las monedas de $1$ a $5$, le dice al experto que pese $1,2$ con $3,4$, después $1$ con $2$ y después $3$ con $5$.
Y Facu se entera los resultados una vez que ya terminaron todas las pesadas.
Lo que queremos es tener un procedimiento que siempre nos garantice poder descubrir cuál moneda es la pesada y cuál es la liviana, sin importar si son (por ejemplo) $1$ y $5$ o $3$ y $4$.
