Proposiciones sobre derivadas
- CarlPaul_153
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Proposiciones sobre derivadas
Demuestra la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones sobre una función f de n variables en un punto P.
1) existen todas las derivadas parciales en P ⟺ existen todas las derivadas direccionales en P
2) existen todas las derivadas direccionales en P ⇒ la función es continua en P
3) f puede ser derivable en un número cualquiera [0-n] de derivadas parciales en P.
4) f puede ser derivable en un número cualquiera [0-$\infty$] de derivadas direccionales no parciales en P.
1) existen todas las derivadas parciales en P ⟺ existen todas las derivadas direccionales en P
2) existen todas las derivadas direccionales en P ⇒ la función es continua en P
3) f puede ser derivable en un número cualquiera [0-n] de derivadas parciales en P.
4) f puede ser derivable en un número cualquiera [0-$\infty$] de derivadas direccionales no parciales en P.
Si todo te da igual estás haciendo mal las cuentas. Albert Einstein.
- CarlPaul_153
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Re: Proposiciones sobre derivadas
1)
Analíticamente no encuentro problema, pero conceptual o geométricamente me cuesta mucho aceptarlo. Es lo mismo que decir: si existe derivada en la dirección de máximo crecimiento, existe en todas las direcciones. Me parece una proposición muy extraña, no entiendo la relación de una cosa con la otra.
Además, encontré este pdf en internet que niega la proposición en el primer párrafo: http://campus.usal.es/~mpg/Personales/P ... 09-10).pdf
Alguno de los dos estaremos equivocados
2) Disculpad la poca rigurosidad, si es muy vaga la respuesta y no convence me tomaré el tiempo de formularlo mejor.
Al igual que en el caso anterior, he encontrado tres lugares donde se contradice esta proposición sin demostración:
Segundo párrafo de este documento: https://www.academia.edu/28518726/MARCO ... da_Parcial
y anteúltimo párrafo de: https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_ ... ici%C3%B3n
Observación 6.5 en https://rodas5.us.es/file/7cd952d6-f051 ... age_03.htm
El 3 y el 4 no tengo idea.
Además, encontré este pdf en internet que niega la proposición en el primer párrafo: http://campus.usal.es/~mpg/Personales/P ... 09-10).pdf
Alguno de los dos estaremos equivocados
2) Disculpad la poca rigurosidad, si es muy vaga la respuesta y no convence me tomaré el tiempo de formularlo mejor.
Al igual que en el caso anterior, he encontrado tres lugares donde se contradice esta proposición sin demostración:
Segundo párrafo de este documento: https://www.academia.edu/28518726/MARCO ... da_Parcial
y anteúltimo párrafo de: https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_ ... ici%C3%B3n
Observación 6.5 en https://rodas5.us.es/file/7cd952d6-f051 ... age_03.htm
El 3 y el 4 no tengo idea.
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Vladislao
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Re: Proposiciones sobre derivadas
1) Es falso. Lo que estás invocando al decir $\frac{\partial}{\partial \mathbf{u}} f(x) = \nabla f(x) \cdot \mathbf{u}$ vale bajo la hipótesis de que $f$ sea diferenciable en $x$ (donde diferenciable no es lo mismo a que existan todas las derivadas parciales).
Un ejemplo de función (que obviamente no es diferenciable) pero que tiene derivadas parciales y no todas las derivadas direccionales.
$$ f(x,y) = \left\{ \begin{matrix} \frac{xy}{x^2+y^2} & (x,y)\neq (0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.$$
Un ejemplo de función (que obviamente no es diferenciable) pero que tiene derivadas parciales y no todas las derivadas direccionales.
$$ f(x,y) = \left\{ \begin{matrix} \frac{xy}{x^2+y^2} & (x,y)\neq (0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.$$
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.
- CarlPaul_153
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Re: Proposiciones sobre derivadas
Yo pensé lo mismo, porque algunas demostraciones lo demuestran para una $f$ diferenciable, aunque no demuestran que sea condición necesaria (por ejemplo wikipedia). Pero según lo veo yo, el libro "Calculo de varias variables" de James Stewart, 7ma edición lo demuestra de forma genérica en la página 935.
En caso de que la igualdad anterior no se cumpla solo con funciones diferenciables, si existiría la derivada en cualquier dirección. Yo grafiqué con Geogebra y no veo porque no se podría derivar en alguna dirección
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Gianni De Rico
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Re: Proposiciones sobre derivadas
Fijate que por definición de derivada direccional de $f$ en el punto $\mathbf{a}$, tenemos$$f'(\mathbf{a},\mathbf{v})=\lim \limits _{h\to 0}\frac{f(\mathbf{a}+h\mathbf{v})-f(\mathbf{a})}{h}$$ con $\|\mathbf{v}\|=1$.CarlPaul_153 escribió: ↑Jue 16 May, 2019 6:15 pmEn caso de que la igualdad anterior no se cumpla solo con funciones diferenciables, si existiría la derivada en cualquier dirección. Yo grafiqué con Geogebra y no veo porque no se podría derivar en alguna dirección
En particular para $\mathbf{a}=(0,0)$, poniendo $g(h)=f(h\mathbf{v})$, tenemos $f'((0,0),\mathbf{v})=g'(0)$. Ahora, si $\mathbf{v}=(v_1,v_2)$, resulta $g(h)=\frac{(hv_1)(hv_2)}{(hv_1)^2+(hv_2)^2}=\frac{v_1v_2}{v_1^2+v_2^2}=v_1v_2$ para $h\neq 0$, y $g(0)=0$. Pero $v_1v_2=0$ si y sólo si exactamente uno entre $v_1$ y $v_2$ es $0$ (pues $\|\mathbf{v}\|=1$). Luego, si $v_1,v_2\neq 0$, tenemos que $g$ no es continua en $0$, y por lo tanto no es derivable. Esto es, las únicas derivadas direccionales de $f$ en $(0,0)$ son las derivadas parciales.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫