Nacional N2 P4 2007

[3,14]

Hay $n$ rectas distintas en un plano, tal que cada una de ellas corta exactamente a otras $2007$. Hallar todos los valores de $n$ para los cuales esto es posible.

[3,14]

¿Puede ser que si se cortan [math]i rectas, entonces los únicos valores posibles sean [math]i+1 y [math]2i? (2008 y 4014)

[Nacho]

Acá está la solución:

Definamos a una recta como "principal" si define a un conjunto de rectas paralelas (este conjunto puede contener solo a la recta "principal"). Definamos entonces [math]r_1 , \cdots , r_k a las rectas "principales".
Sea [math]f(r_i) la cantidad de rectas paralelas a [math]r_i (incluyendo [math]r_i).
Sea [math]g(r_i) la cantidad de rectas que intersectan a [math]r_i.
Por enunciado, [math]g(r_1) = \cdots = g(r_k) = 2007.
Vemos tambien que [math]f(r_1) + \cdots + f(r_k) = n.
Observamos ahora que [math]n-f(r_i) = g(r_i) pues se corta con todas las rectas menos las que son paralelas y sí misma.
Sumamos ahora: [math]\sum_{i=0}^n n-f(r_i) = 2007\cdot k
[math]n\cdot k - (f(r_1)+\cdots + f(r_k)) = 2007k
[math]n\cdot (k-1) = 2007k Entonces, vemos claramente que [math]n = \frac{2007k}{k-1}, y como [math]k-1 y [math]kson coprimos, [math]k-1 \mid 2007. Vemos por lo tanto que los posibles valores de [math]n son [math]2008,2010,2016,2230,2676,4014

[Sandy]

Acá está la solución:

Definamos a una recta como "principal" si define a un conjunto de rectas paralelas (este conjunto puede contener solo a la recta "principal"). Definamos entonces $r_1 , \cdots , r_k$ a las rectas "principales".
Sea $f(r_i)$ la cantidad de rectas paralelas a $r_i$ (incluyendo $r_i$).
Sea $g(r_i)$ la cantidad de rectas que intersectan a $r_i$.
Por enunciado, $g(r_1) = \cdots = g(r_k) = 2007$.
Vemos tambien que $f(r_1) + \cdots + f(r_k) = n$.
Observamos ahora que $n-f(r_i) = g(r_i)$ pues se corta con todas las rectas menos las que son paralelas y sí misma.
Sumamos ahora: $\sum_{i=0}^n n-f(r_i) = 2007\cdot k$
$n\cdot k - (f(r_1)+\cdots + f(r_k)) = 2007k$
$n\cdot (k-1) = 2007k$ Entonces, vemos claramente que $n = \frac{2007k}{k-1}$, y como $k-1$ y $k$son coprimos, $k-1 \mid 2007$. Vemos por lo tanto que los posibles valores de $n$ son $2008,2010,2016,2230,2676,4014$

Una pregunta, puede ser que en la sumatoria sea desde $i=0$ hasta $k$ en vez de hasta $n$??

[Gianni De Rico]

Una pregunta, puede ser que en la sumatoria sea desde $i=0$ hasta $k$ en vez de hasta $n$??

La sumatoria es desde $i=1$ hasta $k$ (fijate que los demás valores no están definidos, y que entre $0$ y $k$ inclusive hay $k+1$ números, entonces debería dar $2007(k+1)$).

[Sandy]

Es
La sumatoria es desde $i=1$ hasta $k$ (fijate que los demás valores no están definidos, y que entre $0$ y $k$ inclusive hay $k+1$ números, entonces debería dar $2007(k+1)$).

Eso eso, lo que decía era que era hasta $k$ en vez de hasta $n$, gracias!