Se tienen $36$ bolillas numeradas del $1$ al $36$. Hay que distribuir las bolillas en varias cajas de modo que se cumplan simultáneamente las siguiente condiciones:
Cada caja contenga al menos dos bolillas.
Siempre que se saquen dos bolillas de una misma caja, la suma de los números escritos en esas bolillas sea múltiplo de $3$.
Determinar la menor cantidad de cajas necesarias para hacer la distribución y mostrar cómo se pueden distribuir las bolillas.
Como una de las condiciones decía que tenía que haber como mínimo 2 bolillas en cada caja, el máximo número de cajas que podía haber era 18 (36/2)
Para calcular la menor cantidad posible de cajas lo que hice fue:
Agrupé todos los múltiplos de 3 que hay entre 1 y 36 (son 12) para que quedaran todos en una misma caja.
Con los 24 números restantes había diferentes maneras de agruparlos de a 2. Una de ellas era:
Caja 1: 1 y 2
Caja 2: 4 y 5
Caja 3: 7 y 8
Caja 4: 10 y 11
Caja 5: 13 y 14
Caja 6: 16 y 17
Caja 7: 19 y 20
Caja 8: 22 y 23
Caja 9: 25 y 26
Caja 10: 28 y 29
Caja 11: 31 y 32
Caja 12: 34 y 35
La caja 13 estaba conformada por los múltiplos de 3: 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36.
Si sacamos 2 bolillas de cualquier caja, al sumarlos, obtenemos un múltiplo de 3.
Como una de las condiciones decía que tenía que haber como mínimo 2 bolillas en cada caja, el máximo número de cajas que podía haber era 18 (36/2)
Para calcular la menor cantidad posible de cajas lo que hice fue:
Agrupé todos los múltiplos de 3 que hay entre 1 y 36 (son 12) para que quedaran todos en una misma caja.
Con los 24 números restantes había diferentes maneras de agruparlos de a 2. Una de ellas era:
Caja 1: 1 y 2
Caja 2: 4 y 5
Caja 3: 7 y 8
Caja 4: 10 y 11
Caja 5: 13 y 14
Caja 6: 16 y 17
Caja 7: 19 y 20
Caja 8: 22 y 23
Caja 9: 25 y 26
Caja 10: 28 y 29
Caja 11: 31 y 32
Caja 12: 34 y 35
La caja 13 estaba conformada por los múltiplos de 3: 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36.
Si sacamos 2 bolillas de cualquier caja, al sumarlos, obtenemos un múltiplo de 3.
Lo que hiciste está bien, pero es sólo la mitad del problema. Acá mostraste que es posible hacerlo con $13$ cajas, faltaría que muestres que es la menor cantidad de cajas que necesitás para lograr lo que pide el problema.
La idea central para hacer esto es la siguiente (la pongo en otro spoiler para no quemarte el problema)
Claro. Lo que yo hice para explicar eso fue escribir que números podían ir con cada número para que su suma de como resultado un múltiplo de 3.
1: 2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35 (estos serían los números que pueden estar en la caja con 1. Los llamé A)
2: 1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34 (estos son los numeros que pueden estar en la caja con 2. Los llamé B)
Con 1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34 pueden ir los números A mientras que con 2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32 y 35 puden ir los números B. Además los números de A no pueden estar juntos ya que el resultado de su suma no es un múltiplo de 3. Lo mismo pasa con los del grupo B. Por lo que, la única manera es poner un número de A con otro B formando así 12 cajas que contienen un número A y otro B. La caja restante es la que contiene los múltiplos de 3.
Notar que para que la suma de dos números sea múltiplo de $3$, o bien estos deben tener el mismo resto en la división por $3$ ($a, b\equiv 0 \pmod{3}$) o uno debe tener resto $1$ y el otro $2$ ($1+2\equiv 0 \pmod{3}$). Además notemos que en los $36$ números del enunciado, hay $12$ números con igual resto ($\frac{36}{3}=12$); con esto podemos asegurarnos de que podemos armar una caja con $12$ bolillas cuyos números sean congruentes a $0$ módulo $3$. Pero no podemos armar otra caja que tenga los $24$ números restantes, ya que podríamos agarrar una bolilla congruente a $1$ y otra a $2$, pero también agarrar dos que sean congruentes a $1$ y entonces no son múltiplos de $3$; entonces lo que hacemos es colocar $2$ bolillas de distinto resto en $12$ cajas para ubicar las $24$ bolillas que faltaban, y por lo tanto la mínima cantidad serán $1+12=13$ cajas.
Veamos que con los $12$ números con resto $0$ podemos ponerlos todos en la misma cajita tal que siempre la suma de dos de los que agarres sea $M_3$ por lo que vimos.
Sin embargo, no podemos hacer lo mismo con los números de resto $1$ o $2$ porque $1+1 \equiv 2 \mod 3$ y $2+2 \equiv 1 \mod 3$. Entonces podemos deducir que no hay forma de que dos números de resto $1$ o $2$ compartan caja porque estaría el caso de su suma y ya vimos qué pasa con eso.
Entonces debemos poner todos los números con esos restos separados, y como $1+2 \equiv 0 \mod 3$ debemos poner uno y uno y como hay $12$ números para cada resto serían $12$ cajas así más la caja de todos los números con resto $0$ :
$C_1 = {3;6;9;12;15;18;21;24;27;30;33;36}$
$C_2 = {1;2}$
$C_3 = {4;5}$
$C_4 ={7;8}$
$C_5 ={10;11}$
$C_6 ={13;14}$
$C_7={16;17}$
$C_8={19;20}$
$C_9={22;23}$
$C_{10}={25;26}$
$C_{11}={28;29}$
$C_{12}={31;32}$
$C_{13}={34;35}$