Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB=AC=12$ y $\widehat A=30^\circ$. Sea $D$ el punto interior al triángulo $ABC$ tal que $BD=CD$ y $\widehat{BDC}=150^\circ$. La recta $BD$ corta al lado $AC$ en $E$. Calcular el área del triángulo $ABE$.
Última edición por Joacoini el Sab 29 Jun, 2019 1:37 am, editado 1 vez en total.
En primera instancia notamos que el triángulo ABC es isósceles y como <A=30° entonces <B=<C=(180°-30°)/2=75°. Luego podemos determinar que el triángulo BDC es isósceles pues BD=CD y además sabemos que <BDC=150° por lo que podemos definir que <DBC=<BCD=(180°-150°)/2=15°. Observemos ahora que al ser <B=75° y <DBC=15°, por consiguiente, <ABE=60° y obtenemos así que el triángulo ABE es rectángulo en E ya que <A=30° y, como dijimos anteriormente, <ABE=60° con lo cual, por suma de ángulos interiores de un triángulo definimos que <AEB=90°.
Ahora, por otro lado, tenemos como información que AB=12 y se puede decir que el triángulo ABE es un medio equilátero donde BE es el lado opuesto al ángulo de 30° y es así que obtenemos que BE = 6 (porque en los triángulos equiláteros, todos sus lados son iguales y al trazar la altura, esta corta perpendicularmente al lado y lo divide en 2 iguales, así que si AB=12 entonces BE=6)
Y acá ya tenemos todos los datos para calcular el área del triángulo ABE, solo basta con utilizar la forma trigonométrica de la fórmula del área de un triángulo, esta es: A. ABE= ½ AB . BE . sen(<ABE)= ½ 12 . 6 . sen(60)=6 . 6 . √3/2=3 . 6 . √3=18√3 (medida en unidades de superficie)
P3 N3 OMA.png
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Si buscas un resultado distinto, no hagas siempre lo mismo
Y acá ya tenemos todos los datos para calcular el área del triángulo ABE, solo basta con utilizar la forma trigonométrica de la fórmula del área de un triángulo
Y acá ya tenemos todos los datos para calcular el área del triángulo ABE, solo basta con utilizar la forma trigonométrica de la fórmula del área de un triángulo
Creo que el resultado no es correcto. Ya que el angulo ADC es el doble del angulo ABC entonces ADC es un angulo central del circuncirculo de ABC, es decir que AD=BD=CD.
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.
Creo que el resultado no es correcto. Ya que el angulo ADC es el doble del angulo ABC entonces ADC es un angulo central del circuncirculo de ABC, es decir que AD=BD=CD.
El resultado es correcto, si completás los ángulos se puede ver que $\angle ADC=105°$, que no es en el doble de $\angle ABC=75°$. Incluso si lo fuera, esto no implica que $D$ sea el circuncentro de $ABC$, solamente significa que pertenece al arco $BC$ del circuncírculo de $BOC$ que contiene a $O$, donde $O$ es el circuncentro de $ABC$. Hay infinitos puntos que cumplen eso, como ya se discutió acá.