Ñandú - Regional - 2015 - Nivel 3 - Problema 3

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Melanie
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Regional Ñandú 2015 - Problema 3 Nivel 3

Mensaje sin leer por Melanie » Vie 04 Sep, 2015 1:27 am

La abuela de Dani olvidó la clave de 5 dígitos para abrir su valija.
Recuerda que:
  • no tiene ningún cero,
    tiene tres dígitos que son múltiplos de 4,
    tiene dos dígitos que son múltiplos de 3,
    no tiene dígitos consecutivos iguales.
¿Cuántas son las posibles claves? Explica cómo las contaste.

CharlyMaiden
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Re: Regional Ñandú 2015 - Problema 3 Nivel 3

Mensaje sin leer por CharlyMaiden » Dom 06 Sep, 2015 11:23 am

Este problema a mí tambien me tiene desorientado. No entiendo bien la consigna.
Alguien podría ofrecer la solución?
Gracias.

jroca
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Re: Regional Ñandú 2015 - Problema 3 Nivel 3

Mensaje sin leer por jroca » Dom 06 Sep, 2015 8:01 pm

CharlyMaiden escribió:Este problema a mí tambien me tiene desorientado. No entiendo bien la consigna.
Alguien podría ofrecer la solución?
Gracias.
no tengo la respuesta precisa pero se que si me pongo a hacerla lo conseguiré.
un ejemplo de los números que se pueden hacer puede ser 43864, ya que 4 es múltiplo de 4, 3 es múltiplo de 3, 8 es múltiplo de 4, 6 es múltiplo de 3 y 4 es múltiplo de 4, cabe destacar que cumple con todos los datos que se pide.
A simple vista se ve que son bastantes números, solo es cuestión de pensar.

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Matías V5

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Re: Regional Ñandú 2015 - Problema 3 Nivel 3

Mensaje sin leer por Matías V5 » Dom 06 Sep, 2015 9:39 pm

Hola a todos! Vi que varias personas estaban comentando sobre este problema, así que decidí postear una solución. Espero que se entienda, cualquier cosa pueden preguntar :)
Spoiler: mostrar
La clave de la valija tiene tres dígitos que son múltiplos de [math]. Como sabemos que no hay ningún cero, estos dígitos pueden ser:
  • tres [math],
  • tres [math],
  • dos [math] y un [math],
  • un [math] y dos [math].
Supongamos que hay tres [math]. Como no hay dos dígitos consecutivos iguales, la clave tiene que ser [math] _ [math] _ [math]. Los dos dígitos que van en los huecos tienen que ser múltiplos de [math]. Para cada uno de ellos hay tres posibilidades ([math], [math] o [math]). Entonces tenemos [math] posibles claves con tres [math].
El caso en el que hay tres [math] es igual al anterior, porque de nuevo tiene que ser [math] _ [math] _ [math] y para completar cada hueco tenemos tres opciones. Así, también hay [math] posibles claves con tres [math].
Pasamos ahora al caso en el que hay dos [math] y un [math]. Vamos a ir viendo las posibilidades según dónde pongamos el [math].
(a) Si el [math] es la primera cifra, o sea si la clave es [math] _ _ _ _, ahora para acomodar los dos [math] tenemos tres opciones: [math] _ [math] _, [math] _ _ [math], [math] _ [math] _ [math]. En la primera opción tenemos [math] formas de completar los huecos con dos dígitos que sean múltiplos de [math]. Lo mismo pasa con la tercera opción, pero con la segunda opción tenemos menos posibilidades porque debemos tener en cuenta que los dos dígitos que falta completar son consecutivos y por lo tanto no pueden ser iguales. Tenemos tres posibilidades para elegir el dígito de la izquierda, y una vez elegido éste, nos quedan sólo dos posibilidades para el dígito de la derecha, porque no podemos repetir el dígito que ya usamos. Entonces para la opción [math] _ _ [math] tenemos [math] claves posibles.
En total, en este "subcaso" hay [math] claves posibles.
(b) Si el [math] es la segunda cifra, o sea si la clave es _ [math] _ _ _, para acomodar los dos [math] tenemos cuatro opciones: [math] _ _, [math] _ [math] _, [math] _ _ [math], _ [math] _ [math]. De estas opciones, en la segunda y en la cuarta tenemos [math] claves posibles porque para completar cada hueco tenemos [math] posibilidades y no hay restricción adicional ya que no son dígitos consecutivos; en cambio, en la primera y tercera opciones sólo va a haber [math] claves posibles, razonando igual que como hicimos en (a). En total, en este "subcaso" hay [math] claves posibles.
(c) Si el [math] es la cifra del medio, para acomodar los [math] tenemos cuatro opciones: [math] _ [math] _, [math] _ [math] _ [math], _ [math] _, _ [math] _ [math]. En todas ellas los dos dígitos que falta completar no son consecutivos, así que vamos a tener [math] claves posibles por cada opción. En total son [math] claves posibles.
(d) Si el [math] es la cuarta cifra es simétrico al caso (b) y por lo tanto también hay [math] claves posibles.
(e) Si el [math] es la última cifra es simétrico al caso (a) y por lo tanto también hay [math] claves posibles.
Entonces, con dos [math] y un [math] hay [math] claves posibles.
El caso con un [math] y dos [math] se puede resolver de la misma forma que el anterior, viendo los distintos casos según en qué posición esté el dígito [math]. Así, obtenemos que también hay [math] claves posibles con un [math] y dos [math].
En total, la cantidad de claves posibles es [math].
1  
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

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Melanie
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Re: Regional Ñandú 2015 - Problema 3 Nivel 3

Mensaje sin leer por Melanie » Dom 06 Sep, 2015 10:26 pm

Uy Mati me ganó de mano! Como nota de color, hice con la compu un programa que devuelva todas las soluciones al problema. Obviamente no se espera que hagan la lista entera sino que cuenten cuántas son como lo hizo Mati. Pero como no hay nada más lindo que sumar posts, les mando la lista:

34348
34384
34648
34684
34834
34838
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34846
34849
34864
34868
34894
34898
34948
34984
36484
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Pirógeno

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Ñandú - Regional - 2015 - Nivel 3 - Problema 3

Mensaje sin leer por Pirógeno » Mié 10 Jul, 2019 11:01 pm

La abuela de Dani olvidó la clave de 5 dígitos para abrir su valija. Recuerda que:
• no tiene ningún cero,
• tiene tres dígitos que son múltiplos de 4,
• tiene dos dígitos que son múltiplos de 3,
• no tiene dígitos consecutivos iguales.
¿Cuántas son las posibles claves? Explica cómo las contaste.

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