Mayo 2018 Problema 2 Nivel 1

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tuvie

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Mayo 2018 Problema 2 Nivel 1

Mensaje sin leer por tuvie »

Se efectúan mil divisiones enteras: se divide $2018$ entre cada uno de los números enteros del $1$ al $1000$. Se obtienen así mil cocientes enteros con sus respectivos restos. ¿Cuál de estos mil restos es el mayor?
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Dauphineg

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Re: Mayo 2018 Problema 2 Nivel 1

Mensaje sin leer por Dauphineg »

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Consideremos que $n$ es un natural menor o igual que $1000$ y que $c$ y $r$ son respectivamente el cociente y resto de dividir a $2018$ por $n$.
Tendremos que $2018=n.c+r$ y ademas $r+1\leq n$ o también $r\leq n-1$, luego $2018=n.c+r\leq n.c+n-1=n.(c+1)-1\leq 1000.(c+1)-1$
$\Rightarrow 2019\leq 1000.(c+1)\Rightarrow 1,019\leq c \Rightarrow 2\leq c$ entonces $2018=n.c+r \geq (r+1).2+r=3r+2$
$\Rightarrow 2016\geq 3r \Rightarrow 672\geq r$, por último vemos que para $n=673$ se obtiene este resto de $672$ así que es el máximo buscado.
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