Regional 2019 - N3 - P1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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AgusBarreto

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Regional 2019 - N3 - P1

Mensaje sin leer por AgusBarreto »

Sean $p$ y $q$ dos números primos positivos menores que $100$, no necesariamente distintos. Sea $n$ el número que resulta de escribir $p$ y a continuación, a su derecha, escribir $q$; sea $k$ la multiplicación de $p$ por $q$. Si $n-k=208$, hallar $p$ y $q$. Dar todas las posibilidades.
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BrunoDS

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Re: Regional 2019 - N3 - P1

Mensaje sin leer por BrunoDS »

Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 1 V2.0 (?
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Seguro muchos se olvidaron que el $1$ era primo y que anda:

$p=23$ y $q=1$

No, @EMILIANO LIWSKI ?
2  
"No se olviden de entregar la prueba antes de irse..."
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BrunoDS

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Re: Regional 2019 - N3 - P1

Mensaje sin leer por BrunoDS »

Bueno, va una solución:
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Si $q<10$:

$n-k=10p+q-pq=208 \Leftrightarrow 10p+q-pq-10=198 \Leftrightarrow (p-1)(10-q)=198$

Notemos que $198=1×198=2×99=3×66=6×33=9×22=11×18$

Sabiendo que $10-q<10$ probamos con los divisores menores que $10$ y obtenemos una sola solución:

$p=67; q=7$


Si $10<q<100$:

$n-k=100p+q-pq=208 \Leftrightarrow 100p+q-pq-100=108 \Leftrightarrow (p-1)(100-q)=108$

Notemos que:
$108=1×108=2×54=3×36=4×27=6×18=9×12$

Sabiendo que $100-q$ es impar, a no ser que $q=2$ (lo cual no funciona), probamos con los divisores que son impares y obtenemos $2$ soluciones más:

$p=37; q=97$
$p=5; q=73$
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Santito
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Re: Regional 2019 - N3 - P1

Mensaje sin leer por Santito »

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n-k=208
Si q tiene 1 dígito, n = 10p+q
Si q tiene 2 dígitos, n = 100p+q

k = pq

Entonces, separamos en dos casos:

A) Q TIENE 2 DÍGITOS
100p + q - pq = 208
100p - pq = 208 - q
100p - 208 = pq - q
100p - 208 = q (p - 1)

Descartamos los casos en los que p termina en 1 (porque p-1 terminaría en 0, y 100 p - 208 nunca puede terminar en 0) y chequeamos los 20 casos restantes: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 29, 37, 43, 47, 53, 59, 67, 73, 79, 83, 89 y 97.

Valen:
p = 5, q = 73
p = 37, q = 97

B) Q TIENE 1 DÍGITO
10p + q - pq = 208
10p - pq = 208 - q
p (10 - q) = 208 - q

Como 10-q es positivo, solo chequeamos con los primos menores que 10.

Vale:
p = 67, q =7.

Esas son las tres soluciones. Sería ideal poder acotar un poco más las posibilidades en el caso A para no tener que chequear tantos casos particulares.
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fran :)

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Re: Regional 2019 - N3 - P1

Mensaje sin leer por fran :) »

@Santito yo hice algo parecido a vos, pero asi es como se puede "acortar" tu caso A:
Spoiler: mostrar
A) Q TIENE 2 DÍGITOS

100p + q - pq = 208
-(100p + q - pq) = -208
pq - 100p - q = -208
pq - 100p - q + 100 = -208 + 100 = -108
Factorizando de forma inteligente:
(p - 1)(q - 100) = -108

Entonces tenemos dos numeros que multiplicados dan -108. q - 100 es negativo porque p - 1 no puede ser negativo porque p no puede ser negativo. Lo que vamos a hacer, entonces, es ver todos los factores de 108 y ver los valores que tomarian p y q en ese caso y ver si son primos.

Valores de (p - 1, q - 100), que tenemos que chequear:
  • (1, -108)
  • (2, -54)
  • (3, -36)
  • (4, -27)
  • (6, -18)
  • (9, -12)
  • (12, -9)
  • (18, -6)
  • (27, -4)
  • (36, -3)
  • (54, -2)
  • (108, -1)
Todos los primos (como p y q) mayores a 3 son de la forma

6k + 1, o 6k + 5.

Entonces

p - 1 = 6k + 0, o 6k + 4
q - 100 = 6k + 3, o 6k + 1

Marque con rojo todos los valores de p y q en la tabla anterior que no sirven por esta razon (porque se que p y q no van a ser primos).

Entonces solo tengo que probar con los pares que tienen ni p ni q en rojo y ver si son primos o no:
  • p - 1 = 4, q - 100 = -27. p = 5, q = 73, ambos primos. Entonces funciona.
  • p - 1 = 12, q - 100 = -9. p = 13, q = 91 = 13 * 7 entonces no funciona porque q no seria primo.
  • p - 1 = 36, q - 100 = -3. p = 37, q = 97, ambos primos. Entonces funciona.
Valen:
p = 5, q = 73
p = 37, q = 97

Tambien se puede aplicar algo similar al caso B
$$\phantom{[muajajacaracteresinfinitos=}\begin{matrix}(λx.F\;a)&→&x=a;F\\(\{x_0\;x_1\}\;a)&→&\{a_0\;a_1\}=a;\{(x_0\;a_0)\;(x_1\;a_1)\}\\\{a_0\;a_1\}=\{b_0\;b_1\}&→&a_0=b_0;a_1=b_1\\\{a_0\;a_1\}=λx.F&→&x=\{x_0\;x_1\};\{f_0\;f_1\}=F;a_0=λx_0.f_0;a_1=λx_1.f_1\end{matrix}\phantom{]}$$
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drynshock

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Re: Regional 2019 - N3 - P1

Mensaje sin leer por drynshock »

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Primero veamos el caso donde $q < 10$

$10p + q - pq = 208 \Rightarrow p(10 - q) + q = 208 \Rightarrow q - 10 -p(q - 10) = 198 \Rightarrow (p - 1)(10 - q) = 198$
Como el valor de los paréntesis es entero, estos van a tomar algún divisor de 198. q puede ser como máximo 7, sino seria negativo, probando llegamos a que los únicos valores que cumplen en este caso son $p = 67, q = 7$

Ahora el caso donde $q > 10$
$100p + q - pq = 208 \Rightarrow p(100 - q) + q = 208 \Rightarrow q - 100 -p(q - 100) = 108 \Rightarrow (p - 1)(100 - q) = 108$
Como q es primo mayor que 2, el paréntesis derecho siempre va a ser impar, entonces $(p - 1)$ va a tomar la forma de $4.3^k$ y $k$ puede ser 0, 1, 2, 3.

Probando con estos pocos valores llegamos a que hay dos soluciones que cumplen, dejándonos con un total de 3.
$(p, q) = (67, 7) , (5, 73), (37, 97)$
@Bauti.md ig // Ridin' in a getaway car // $\zeta (s) =\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}$
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