Determinar la cantidad de tríos $(a, b, c)$ de números enteros tales que $2\leq a <b<c$ y la multiplicación de los tres números es $30030$, es decir, $a \cdot b \cdot c =30030$.
La ecuación a la que había llegado al final del ejercicio era:
$S = {6\choose 4} + {6\choose 3}{3\choose 2} + {6\choose 2}{4\choose 2}$
$S = 15 + 60 + 90$
$S = 165$
En sí, había tres casos (notemos que todos los divisores de $30030$ no están elevados a ninguna potencia).
Cuando multiplicábamos un producto de 4 primos por dos que eran primos.
Cuando multiplicábamos un producto de 3 primos por uno de 2 primos y uno primo.
Cuando multiplicábamos tres productos de dos primos.
Como $30030 = 2.3.5.7.11.13$, esos eran los primos a los que me refiero.
Primero notemos que $30030=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13$, en definitiva tenemos $6$ primos distintos.
Luego, pensamos a cada número de la terna como una cajita, y los primos van a parar en alguna de estas $3$ cajitas.
Es por eso que en un principio tenemos $3^6$ combinaciones, cada primo tiene $3$ posibilidades, ir a la cajita $1$, $2$ o $3$.
Pero acá estamos contando cosas que no deberíamos.
1) No estamos teniendo en cuenta el orden creciente que exige el problema.
2) Estamos contando casos en que alguna cajita quede vacía, y por lo tanto ese número sea $1$, y no cumple que sea mayor que $2$ como pide el enunciado.
Vamos a restar los casos del punto $2$.
Para ello dejamos una cajita libre y repartimos los $6$ primos en las restantes $2$ cajitas. He aquí que obtenemos $2^6$, pero como cualquiera de las $3$ cajitas puede tener $0$ primos, entonces tenemos $3\cdot 2^6$ combinaciones.
Pero hay un detalle más, dentro de ese $3\cdot 2^6$ estamos restando $2$ veces cada caso en que queden $2$ cajitas vacías y la otra con todos los primos. Como los casos son $1$ $1$ $30030$, $1$ $30030$ $1$, $30030$ $1$ $1$, y cada una la restamos $2$ veces, cuando debería ser una sola vez, obtenemos finalmente que la cantidad de combinaciones es:
$3^6-3\cdot 2^6 +3$
Finalmente, debido a que están ordenadas, debemos dividir por la cantidad de permutaciones que tiene cada una.
El resultado final es: $\frac{3^6-3\cdot 2^6 +3}{3!}=\frac{3^6-3\cdot 2^6 +3}{6}=90$
Última edición por Monazo el Jue 12 Sep, 2019 7:37 pm, editado 1 vez en total.
La ecuación a la que había llegado al final del ejercicio era:
$S = {6\choose 4} + {6\choose 3}{3\choose 2} + {6\choose 2}{4\choose 2}$
$S = 15 + 60 + 90$
$S = 165$
En sí, había tres casos (notemos que todos los divisores de $30030$ no están elevados a ninguna potencia).
Cuando multiplicábamos un producto de 4 primos por dos que eran primos.
Cuando multiplicábamos un producto de 3 primos por uno de 2 primos y uno primo.
Cuando multiplicábamos tres productos de dos primos.
Como $30030 = 2.3.5.7.11.13$, esos eran los primos a los que me refiero.
Espero haberlo hecho bien
Tu idea es correcta pero tenes un pequeño error, que es que
cuando ves el caso de que cada número contenga $2$ primos. Tu error está en que estás contando cada caso $6$ veces. No estás teniendo en cuenta la condición de enunciado que dice que están ordenadas. Así que en esa cuenta, si la miras bien, estás contando las permutaciones, y no es lo que queremos.
Por lo tanto la solución es:
AgusBarreto escribió: ↑Jue 12 Sep, 2019 5:58 pm
Determinar la cantidad de tríos $(a, b, c)$ de números enteros tales que $2\leq a <b<c$ y la multiplicación de los tres números es $30030$, es decir, $a \cdot b \cdot c =30030$.
La ecuación a la que había llegado al final del ejercicio era:
$S = {6\choose 4} + {6\choose 3}{3\choose 2} + {6\choose 2}{4\choose 2}$
$S = 15 + 60 + 90$
$S = 165$
En sí, había tres casos (notemos que todos los divisores de $30030$ no están elevados a ninguna potencia).
Cuando multiplicábamos un producto de 4 primos por dos que eran primos.
Cuando multiplicábamos un producto de 3 primos por uno de 2 primos y uno primo.
Cuando multiplicábamos tres productos de dos primos.
Como $30030 = 2.3.5.7.11.13$, esos eran los primos a los que me refiero.
Exactamente igual pero contaste de más en el caso de tres productos de dos primos.
Faltó dividir por 3! (si no estás contando 3! veces cada caso (porque los dos que elegís primero podrían ser los del medio o los últimos, es decir, ab . cd . ef = cd . ab . ef, por ejemplo).
yo lo pense asi:
me fije el minimo valor para a,podia ser hasta el 26 y luego fui probando para cada a los b y c. en total me dio 112. de todas formas no creo que este bien porque tendre un par de opciones de mas