Regional 2019 - N2 - P1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
AgusBarreto

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2015 OFO - Medalla de Bronce-OFO 2016 OFO - Jurado-OFO 2017 FOFO 7 años - Jurado-FOFO 7 años OFO - Jurado-OFO 2018
FOFO 8 años - Jurado-FOFO 8 años OFO - Jurado-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Jurado-FOFO Pascua 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo
OFO - Jurado-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022
Mensajes: 157
Registrado: Sab 15 Sep, 2012 6:28 pm
Medallas: 18
Nivel: Exolímpico
Ubicación: San Martín, Buenos Aires

Regional 2019 - N2 - P1

Mensaje sin leer por AgusBarreto »

Determinar la cantidad de tríos $(a, b, c)$ de números enteros tales que $2\leq a <b<c$ y la multiplicación de los tres números es $30030$, es decir, $a \cdot b \cdot c =30030$.
Avatar de Usuario
LorenzoRD

COFFEE - Mención-COFFEE Matías Saucedo OFO - Medalla de Plata-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Mención-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Mención-COFFEE Carolina González FOFO 10 años - Medalla-FOFO 10 años
OFO - Medalla de Bronce-OFO 2021 FOFO 11 años - Mención-FOFO 11 años FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años OFO - Jurado-OFO 2023
Mensajes: 44
Registrado: Dom 13 Ene, 2019 11:07 pm
Medallas: 9
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Almagro

Re: Regional 2019 - N2 - P1

Mensaje sin leer por LorenzoRD »

Spoiler: mostrar
Me dio $165$, usando combinatoria.

La ecuación a la que había llegado al final del ejercicio era:
$S = {6\choose 4} + {6\choose 3}{3\choose 2} + {6\choose 2}{4\choose 2}$
$S = 15 + 60 + 90$
$S = 165$

En sí, había tres casos (notemos que todos los divisores de $30030$ no están elevados a ninguna potencia).
Cuando multiplicábamos un producto de 4 primos por dos que eran primos.
Cuando multiplicábamos un producto de 3 primos por uno de 2 primos y uno primo.
Cuando multiplicábamos tres productos de dos primos.

Como $30030 = 2.3.5.7.11.13$, esos eran los primos a los que me refiero.

Espero haberlo hecho bien
Ver este mensaje... te llena de determinación.
loli1233
Mensajes: 2
Registrado: Jue 12 Sep, 2019 6:56 pm
Nivel: 2

Re: Regional 2019 - N2 - P1

Mensaje sin leer por loli1233 »

A mi me dio
Spoiler: mostrar
90.
1  
Avatar de Usuario
Monazo

OFO - Medalla de Plata-OFO 2017 OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Mención-FOFO Pascua 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo
OFO - Jurado-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi
FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022
OFO - Jurado-OFO 2023 OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 381
Registrado: Dom 14 Sep, 2014 2:30 pm
Medallas: 17
Nivel: Exolímpico

Re: Regional 2019 - N2 - P1

Mensaje sin leer por Monazo »

Una solución que salió conjunto con el @Turko Arias, espero que la disfruten, porque nosotros no
Spoiler: mostrar
Primero notemos que $30030=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13$, en definitiva tenemos $6$ primos distintos.

Luego, pensamos a cada número de la terna como una cajita, y los primos van a parar en alguna de estas $3$ cajitas.
Es por eso que en un principio tenemos $3^6$ combinaciones, cada primo tiene $3$ posibilidades, ir a la cajita $1$, $2$ o $3$.
Pero acá estamos contando cosas que no deberíamos.
1) No estamos teniendo en cuenta el orden creciente que exige el problema.
2) Estamos contando casos en que alguna cajita quede vacía, y por lo tanto ese número sea $1$, y no cumple que sea mayor que $2$ como pide el enunciado.

Vamos a restar los casos del punto $2$.

Para ello dejamos una cajita libre y repartimos los $6$ primos en las restantes $2$ cajitas. He aquí que obtenemos $2^6$, pero como cualquiera de las $3$ cajitas puede tener $0$ primos, entonces tenemos $3\cdot 2^6$ combinaciones.

Pero hay un detalle más, dentro de ese $3\cdot 2^6$ estamos restando $2$ veces cada caso en que queden $2$ cajitas vacías y la otra con todos los primos. Como los casos son $1$ $1$ $30030$, $1$ $30030$ $1$, $30030$ $1$ $1$, y cada una la restamos $2$ veces, cuando debería ser una sola vez, obtenemos finalmente que la cantidad de combinaciones es:

$3^6-3\cdot 2^6 +3$

Finalmente, debido a que están ordenadas, debemos dividir por la cantidad de permutaciones que tiene cada una.

El resultado final es: $\frac{3^6-3\cdot 2^6 +3}{3!}=\frac{3^6-3\cdot 2^6 +3}{6}=90$


Última edición por Monazo el Jue 12 Sep, 2019 7:37 pm, editado 1 vez en total.
6  
Soy una Estufa en Piloto
:shock:
Avatar de Usuario
Monazo

OFO - Medalla de Plata-OFO 2017 OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Mención-FOFO Pascua 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo
OFO - Jurado-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi
FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022
OFO - Jurado-OFO 2023 OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 381
Registrado: Dom 14 Sep, 2014 2:30 pm
Medallas: 17
Nivel: Exolímpico

Re: Regional 2019 - N2 - P1

Mensaje sin leer por Monazo »

LorenzoRD escribió: Jue 12 Sep, 2019 6:17 pm
Spoiler: mostrar
Me dio $165$, usando combinatoria.

La ecuación a la que había llegado al final del ejercicio era:
$S = {6\choose 4} + {6\choose 3}{3\choose 2} + {6\choose 2}{4\choose 2}$
$S = 15 + 60 + 90$
$S = 165$

En sí, había tres casos (notemos que todos los divisores de $30030$ no están elevados a ninguna potencia).
Cuando multiplicábamos un producto de 4 primos por dos que eran primos.
Cuando multiplicábamos un producto de 3 primos por uno de 2 primos y uno primo.
Cuando multiplicábamos tres productos de dos primos.

Como $30030 = 2.3.5.7.11.13$, esos eran los primos a los que me refiero.

Espero haberlo hecho bien
Tu idea es correcta pero tenes un pequeño error, que es que
Spoiler: mostrar
cuando ves el caso de que cada número contenga $2$ primos. Tu error está en que estás contando cada caso $6$ veces. No estás teniendo en cuenta la condición de enunciado que dice que están ordenadas. Así que en esa cuenta, si la miras bien, estás contando las permutaciones, y no es lo que queremos.
Por lo tanto la solución es:

$S = {6\choose 4} + {6\choose 3}{3\choose 2} + \frac{{6\choose 2}{4\choose 2}}{6}$

$S = 15 + 60 + 15$
Soy una Estufa en Piloto
:shock:
MatiasFeueT
Mensajes: 2
Registrado: Sab 31 Ago, 2019 4:28 pm
Nivel: 2

Re: Regional 2019 - N2 - P1

Mensaje sin leer por MatiasFeueT »

A mi medio
Spoiler: mostrar
255.
Lo que no se si tuvieron en cuenta los que les dio
Spoiler: mostrar
90
es el hecho de a, b y c podian ser negativos.
Avatar de Usuario
AgusBarreto

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2015 OFO - Medalla de Bronce-OFO 2016 OFO - Jurado-OFO 2017 FOFO 7 años - Jurado-FOFO 7 años OFO - Jurado-OFO 2018
FOFO 8 años - Jurado-FOFO 8 años OFO - Jurado-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Jurado-FOFO Pascua 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo
OFO - Jurado-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022
Mensajes: 157
Registrado: Sab 15 Sep, 2012 6:28 pm
Medallas: 18
Nivel: Exolímpico
Ubicación: San Martín, Buenos Aires

Re: Regional 2019 - N2 - P1

Mensaje sin leer por AgusBarreto »

MatiasFeueT escribió: Jue 12 Sep, 2019 7:33 pm A mi medio
Spoiler: mostrar
255.
Lo que no se si tuvieron en cuenta los que les dio
Spoiler: mostrar
90
es el hecho de a, b y c podian ser negativos.
¡Hola! Fijate que la condición $2\leq a < b < c$ hace que tengan que ser todos positivos.
1  
CamiloAl1as
Mensajes: 1
Registrado: Jue 12 Sep, 2019 7:30 pm
Nivel: 2

Re: Regional 2019 - N2 - P1

Mensaje sin leer por CamiloAl1as »

AgusBarreto escribió: Jue 12 Sep, 2019 5:58 pm Determinar la cantidad de tríos $(a, b, c)$ de números enteros tales que $2\leq a <b<c$ y la multiplicación de los tres números es $30030$, es decir, $a \cdot b \cdot c =30030$.
A mi me dio 51, nose que hice.
Santito
Mensajes: 8
Registrado: Vie 17 Jul, 2015 9:04 pm
Nivel: Exolímpico

Re: Regional 2019 - N2 - P1

Mensaje sin leer por Santito »

LorenzoRD escribió: Jue 12 Sep, 2019 6:17 pm
Spoiler: mostrar
Me dio $165$, usando combinatoria.

La ecuación a la que había llegado al final del ejercicio era:
$S = {6\choose 4} + {6\choose 3}{3\choose 2} + {6\choose 2}{4\choose 2}$
$S = 15 + 60 + 90$
$S = 165$

En sí, había tres casos (notemos que todos los divisores de $30030$ no están elevados a ninguna potencia).
Cuando multiplicábamos un producto de 4 primos por dos que eran primos.
Cuando multiplicábamos un producto de 3 primos por uno de 2 primos y uno primo.
Cuando multiplicábamos tres productos de dos primos.

Como $30030 = 2.3.5.7.11.13$, esos eran los primos a los que me refiero.

Espero haberlo hecho bien
Spoiler: mostrar
Exactamente igual pero contaste de más en el caso de tres productos de dos primos.

Faltó dividir por 3! (si no estás contando 3! veces cada caso (porque los dos que elegís primero podrían ser los del medio o los últimos, es decir, ab . cd . ef = cd . ab . ef, por ejemplo).

Quedaría 15+60+15 = 90.
The_CastaT
Mensajes: 4
Registrado: Mar 10 Abr, 2018 4:56 pm
Nivel: 2

Re: Regional 2019 - N2 - P1

Mensaje sin leer por The_CastaT »

yo lo pense asi:
me fije el minimo valor para a,podia ser hasta el 26 y luego fui probando para cada a los b y c. en total me dio 112. de todas formas no creo que este bien porque tendre un par de opciones de mas
Responder