Se consideran todos los números naturales de nueve dígitos que utilizan exclusivamente los dígitos $1$, $2$ y $3$ (el menor es el $111111111$ y el mayor es el $333333333$). Cada uno de estos números está escrito en una tarjeta; se tiene así un mazo de $19683$ tarjetas. David, Juan y Pablo se repartieron las tarjetas de acuerdo con la siguiente regla: si dos tarjetas son de un mismo chico, entonces en al menos una de las nueve posiciones tienen el mismo dígito. Si David tiene el $133221311$ y Juan tiene el $133211311$, determinar cuál de los tres chicos tiene el $123123123$.
El número $A = 211312232$ no tiene dígitos en común con el $133221311$, por lo que $A$ debe ser de Juan. A su vez, el $123123123$ no tiene dígitos en común con $A$, por lo que no puede ser de Juan, es decir, lo tiene David.
Joacoini escribió: ↑Lun 30 Sep, 2019 11:40 pm
Se consideran todos los números naturales de nueve dígitos que utilizan exclusivamente los dígitos $1$, $2$ y $3$ (el menor es el $111111111$ y el mayor es el $333333333$). Cada uno de estos números está escrito en una tarjeta; se tiene así un mazo de $19683$ tarjetas. David, Juan y Pablo se repartieron las tarjetas de acuerdo con la siguiente regla: si dos tarjetas son de un mismo chico, entonces en al menos una de las nueve posiciones tienen el mismo dígito. Si David tiene el $133221311$ y Juan tiene el $133211311$, determinar cuál de los tres chicos tiene el $123123123$.
Aunque sea de Nivel $1$, es un gran orgullo para mí postear la solución de un problema del Nacional del año en el que nací ñ_ñ
Llamamos a la $i$-ésima cifra (contando de izquierda hacia derecha) $a_i$ y además si decimos que si $a_i = 2\land3$ entonces $2$ y $3$ sirven para la $i$-ésima cifra en conjunto con las enunciadas para la persona mencionada. Así, si decimos que: Pablo tiene los números
$$a_1=2\land3, a_2=3, a_3=2, a_4=2, a_5=1, a_6=1, a_7=1, a_8=1, a_9=1$$
entonces estamos diciendo que Pablo tiene tanto la tarjeta del número $232.211.111$ como la del $332.211.111$ (pongo los puntitos para hacer más fácil la lectura).
Notamos que rápidamente podemos inferir del enunciado que ni David ni Juan tienen los números
$$a_1=2\land3, a_2=1\land2, a_3=1\land2, a_4=1\land3, a_5=3, a_6=2\land3, a_7=1\land2, a_8=2\land3, a_9=2\land3$$
por lo tanto estos $2^8$ números son de Pablo. Ésto fue deducido ya que esos $2^8$ números no comparten ninguna cifra con los que sabemos que tienen David y Juan. Este razonamiento lo llamaremos Deducción Descartadora.
La persona que tenga el $123.123.123$, por Deducción Descartadora, no tendrá alguno de los números
$$a_1=2\land3, a_2=1\land3, a_3=1\land2, a_4=2\land3, a_5=1\land3, a_6=1\land2, a_7=2\land3, a_8=1\land3, a_9=1\land2$$
pero Pablo tiene al menos uno de éstos, como por ejemplo el $211.332.232$. Luego, Pablo no tiene el $123.123.123$.
Tomemos el número $211.312.232$. Este número no fue elegido al azar: es un número que quien lo tenga no puede tener el $123.123.123$ (por Deducción Descartadora). Además, no lo puede tener Pablo ya que entre sus números se encuentra, por ejemplo, el $322.133.123$ con el que no comparte ninguna cifra. Pero es que por último y para aniquilar el problema, tampoco comparte ninguna cifra con el único número se sabe tiene David: el $133.221.311$. Sin embargo, podemos asumir por enunciado que los chicos se repartieron todas las tarjetas (de lo contrario, sería imposible realizar el problema) por lo tanto el número $211.312.232$ le pertenece a Juan (con quien comparte exactamente una cifra, ahí tienen un poco más del por qué de mi elección). Por último, como no comparte ninguna cifra con el $123.123.123$, entonces Juan no tiene este último número.
Si se repartieron todas las tarjetas, pero ni Pablo ni Juan tienen el $123.123.123$, lo tiene David.
Llamo a los números conocidos Nº de David ($133221311$), Nº de Juan ($133211311$) y Nº Cuestionado ($123123123$).
Comienzo creando un número que no tenga ninguna cifra coincidente con el Nº de David, con el de Juan, ni con el Nº Cuestionado. De esta manera, el nuevo número le debe pertenecer a Pablo. Por otro lado, como no tiene un dígito coincidente con el número cuestionado, se deduce que $123123123$ debe pertenecer a David o a Juan. El número creado con estas condiciones es el $211332232$, que llamaré Nro. de Pablo.
El siguiente paso es crear un número que no tenga dígitos coincidentes con el de David, con el de Pablo, ni con el cuestionado, ya que bajo estas condiciones, el número le pertenecería a Juan, a quien no le corrrespondería el número cuestionado porque no tendría cifras coincidentes con dicho número elegido. Sin embargo, por el principio del palomar, esto es imposible, pues el segundo dígito de los tres números son 1, 2 y 3, y no se puede agregar un cuarto dígito que difiera de estos tres.
Para logarlo, creo un segundo número, atribuido a Pablo, que difiera en todos sus dígitos con los números de Juan y David, y que, a su vez, permita la creación de un segundo número de Juan. El número que encontré fue $322133123$; lo llamaré 2º Nº de Pablo.
Ahora sí es posible la creación del 2º Nº de Juan, este resulta ser: $211312232$.
Finalmente comparemos. Pablo tiene el número $211332232$ que impide que también tenga al número cuestionado, lo mismo pasa con Juan que posee el $211312232$, por ende, el número $123123123$ pertenece a David.
Fran B escribió: ↑Vie 11 Oct, 2019 10:29 pm
El número A = 211312232$ no tiene dígitos en común con el 133221311, por lo que A debe ser de Juan. A su vez, el 123123123 no tiene dígitos en común con A, por lo que no puede ser de Juan, es decir, lo tiene David.
Yo llegué a la misma conclusión, pero agregaría que el número también lo podría tener Pablo, ya que, sobre él, no hay datos y que no se puede negar o afirmar sin conocer, al menos no en matemática. Por lo que podrían tenerlo David o Pablo.
