FOFO 9 años Problema 1

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Luli97

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FOFO 9 años Problema 1

Mensaje sin leer por Luli97 »

Sean $a_1,~a_2,~a_3,\ldots,~b_1, b_2, b_3, \ldots,$ y $c_1, c_2, c_3, \ldots$ progresiones aritméticas de números reales. Se sabe que
\begin{align*}
a_1 + b_1 + c_1 &= 1, \\
a_2 + b_3 + c_4 &= 5, \\
a_5 + b_7 + c_9 &= 11.
\end{align*}
Hallar el valor de $a_{519} + b_{1019} + c_{1519}$.

Aclaración: Una progresión aritmética es una sucesión de números $s_1,~s_2,~s_3,\ldots$ tal que cada término se obtiene de sumar siempre el mismo número al término anterior. Por ejemplo, si para cada $n$ definimos $s_n=3n+1$, obtenemos que los primeros términos son $4,7,10,\ldots$ que resulta ser una progresión aritmética en la cual cada término se obtiene de sumarle $3$ al anterior.
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Luli97

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Re: FOFO 9 años Problema 1

Mensaje sin leer por Luli97 »

Solución oficial
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Llamemos $A$ a la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión $a_i$, es decir, $a_{i+1}-a_{i}=A$. Análogamente, definimos $B$ y $C$ para la sucesiones $b_i$ y $c_i$ respectivamente. Veamos qué información nos dan las ecuaciones del enunciado.

La primera nos dice que $a_1+b_1+c_1=1$, nada más para decir sobre esto.

En la segunda podemos reemplazar $a_2$ por $a_1+A$, $b_3$ por $b_1+2 \cdot A$ y $c_4$ por $c_1+3 \cdot C$ y así sabemos que $a_1+A+b_1+2 \cdot B+c_1+3 \cdot C=5$, pero como ya sabemos que la suma $a_1+b_1+c_1$ es $1$, podemos deducir que $A+2 \cdot B+3 \cdot C=4$.

Haciendo lo mismo en la tercera ecuación, obtenemos que $a_1+4 \cdot A+b_1+6 \cdot B+c_1+8 \cdot C=11$, y por lo tanto, $4 \cdot A+6 \cdot B+8 \cdot C=10$. Pero podemos decir algo mejor que esto, como multiplicando por $4$ la ecuación anterior sabemos que $4\cdot A+8 \cdot B+12 \cdot C=16$ podemos deducir que $2\cdot B + 4 \cdot C=6$.

El problema nos pide calcular $a_{519}+b_{1019}+c_{1519}$, es decir, $a_1+518 \cdot A+b_1+1018 \cdot B +c_1 +1518 \cdot C$, como ya sabemos que $a_1+b_1+c_1=1$, nos alcanza con calcular $518 \cdot A+1018 \cdot B +1518 \cdot C$ usando los valores que ya conocemos:

$518 \cdot A+1018 \cdot B +1518 \cdot C = 518 \cdot (A+2\cdot B + 3 \cdot C) - 9 \cdot (2 \cdot B + 4 \cdot C)$
$518 \cdot A+1018 \cdot B +1518 \cdot C = 518 \cdot 4 - 9 \cdot 6=2018$

Por lo tanto, la suma que nos pedía calcular es $a_{519}+b_{1019}+c_{1519}=2019$ y no puede estar mal :lol: .
HelcsnewsXD

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Re: FOFO 9 años Problema 1

Mensaje sin leer por HelcsnewsXD »

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Sabemos que $a_1+b_1+c_1=1$, siendo estos los elementos primeros de las progresiones aritméticas, por lo que debemos expresar el resto de igualdades en función de ellos. Siendo A, B y C las razones de las progresiones $a_1,...,a_n; b_1,...,b_n; c_1,...,c_n;$ tenemos que:

1)$a_2+b_3+c_4=5 \Rightarrow a_1+b_1+c_1+A+2B+3C=5 \Rightarrow A+2B+3C=4$
2)$a_5+b_7+c_9=11 \Rightarrow a_1+b_1+c_1+4A+6B+8C=11 \Rightarrow 2A+3B+4C=5$

Por 1) y 2), tenemos que:
3) $A+2B+3C+1=2A+3B+4C \Rightarrow 1=A+B+C \Rightarrow$ Si reemplazamos en 1), tenemos que $B+2C=3$ (4)

Por 3) y 4), tenemos que:
$a_{509}+b_{1009}+c_{1509}=a_1+508A+b_1+1008B+c_1+1508C=(a_1+b_1+c_1)+508\times (A+B+C) + 500\times (B+2C) \Rightarrow a_{509}+b_{1009}+c_{1509}=1+508+500\times 3=2009$
Na, clave la solución :lol:
BrunZo

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Re: FOFO 9 años Problema 1

Mensaje sin leer por BrunZo »

HelcsnewsXD escribió: Mar 15 Oct, 2019 10:08 am $a_{509}+b_{1009}+c_{1509}$
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Había que calcular $a_{519}+b_{1019}+c_{1519}$, pero bue... :P
Igual, la solución está perfecta, nada más que el resultado es $2019$.
Juaco

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Re: FOFO 9 años Problema 1

Mensaje sin leer por Juaco »

Curiosidad:
Los subíndices con los resultados tambien forman progresiones aritméticas:
1-1-1-1
2-3-4-5
5-7-9-11
519-1019-1519-2019
1  
$\text{“The further removed from usefulness or practical application, the more important."}$
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