Maratón de Problemas
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Re: Maratón de Problemas
etiquetamos en la tabla de $8x8$
A,B,C,D,E,F,G,H
H,A,B,C,D,E,F,G,
G,H,A,B,C,D,E,F
F,G,H,A,B,C,D,E,
E,F,G,H,A,B,C,D,
D,E,F,G,H,A,B,C
C,D,E,F,G,H,A,B
B,C,D,E,F,G,H,A
(no se como enviar imagenes jejejje)
en vez de colocar casillas negras o blancas, colocaremos 1 o 0 respectivamente
diremos que $x(A)$ es la suma de todas las casillas con 1's y 0's que estan en las casillas de A por ejemplo si solo la esquina superior izquierda esta pintada entonces $x(A)=1$ y $x(B)=0$
notemos que cualquier operacion afectara a todas las letras y que aplicando solo una operacion $x(A)$ aumentara o disminuira en 1 (obviamente esto ocurre tambien con $x(B)$, $x(C)$, etc.)
de aqui podemos ver una invariante:
el residuo de $x(A)-x(B)$ en $mod2$ esto es porque al hacer la operacion la paridad de $x(A)$ y $x(B)$ cambia de par a impar o viceversa, de aqui es facil ver que en $mod 2$ su residuo no cambia (basta ver que $par-par=impar-impar$ y otro caso mas)
luego:
a) supongamos que es posible
como una esquina esta pintada entonces $x(A)=1$ y $x(B)=x(C)=x(D)=...=x(H)=0$ y para el tablero requerrido seria $x(A)=X(B)=X(C)...=x(H)=8$ de esto cualquier diferencia en mod 2 seria 0 pero vemos que al comienzo hay diferencias en mod 2 igual a 1 como $x(A)-x(B)$ contradiccion
b)por lo anterior visto todas las diferencias del tablero requerido en mod 2 son 0, entoces al comienzo debe ser tambien asi. Como $x(A)\geq 1$
entonces $x(B)\geq 1,x(C)\geq 1,...,x(H)\geq 1$ y sumando seria que el tablero del comienzo es mayor o igual que 8 y un ejemplo seria pintar toda la primera fila que claramente es posible mediante operaciones realizar lo pedido. luego como minimo es necesario pintar de negro 7 casillas
A,B,C,D,E,F,G,H
H,A,B,C,D,E,F,G,
G,H,A,B,C,D,E,F
F,G,H,A,B,C,D,E,
E,F,G,H,A,B,C,D,
D,E,F,G,H,A,B,C
C,D,E,F,G,H,A,B
B,C,D,E,F,G,H,A
(no se como enviar imagenes jejejje)
en vez de colocar casillas negras o blancas, colocaremos 1 o 0 respectivamente
diremos que $x(A)$ es la suma de todas las casillas con 1's y 0's que estan en las casillas de A por ejemplo si solo la esquina superior izquierda esta pintada entonces $x(A)=1$ y $x(B)=0$
notemos que cualquier operacion afectara a todas las letras y que aplicando solo una operacion $x(A)$ aumentara o disminuira en 1 (obviamente esto ocurre tambien con $x(B)$, $x(C)$, etc.)
de aqui podemos ver una invariante:
el residuo de $x(A)-x(B)$ en $mod2$ esto es porque al hacer la operacion la paridad de $x(A)$ y $x(B)$ cambia de par a impar o viceversa, de aqui es facil ver que en $mod 2$ su residuo no cambia (basta ver que $par-par=impar-impar$ y otro caso mas)
luego:
a) supongamos que es posible
como una esquina esta pintada entonces $x(A)=1$ y $x(B)=x(C)=x(D)=...=x(H)=0$ y para el tablero requerrido seria $x(A)=X(B)=X(C)...=x(H)=8$ de esto cualquier diferencia en mod 2 seria 0 pero vemos que al comienzo hay diferencias en mod 2 igual a 1 como $x(A)-x(B)$ contradiccion
b)por lo anterior visto todas las diferencias del tablero requerido en mod 2 son 0, entoces al comienzo debe ser tambien asi. Como $x(A)\geq 1$
entonces $x(B)\geq 1,x(C)\geq 1,...,x(H)\geq 1$ y sumando seria que el tablero del comienzo es mayor o igual que 8 y un ejemplo seria pintar toda la primera fila que claramente es posible mediante operaciones realizar lo pedido. luego como minimo es necesario pintar de negro 7 casillas
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Gianni De Rico
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Re: Maratón de Problemas
Esto lleva demasiado tiempo inactivo, así que pongo un problema nuevo para revivirlo un poco
Problema 337
Santi y Cristina juegan en una mesa redonda al siguiente juego:
Sobre el borde de la mesa hay $99$ huecos, que forman los vértices de un polígono regular de $99$ lados. Se tienen bolitas de color rojo o azul, una cantidad ilimitada de bolitas de cada color. Comienza Cristina, que coloca una bolita en uno de los huecos, luego, alternadamente, cada jugador coloca una bolita en un hueco adyacente a otro que haya sido ocupado en alguno de los turnos anteriores. El juego termina cuando todos los huecos están ocupados.
Si al finalizar el juego hay $3$ bolitas de un mismo color que son los vértices de un triángulo equilátero, gana Santi. En otro caso, gana Cristina.
Decidir si alguno de los jugadores tiene una estrategia ganadora. Si la respuesta es sí, dar una estrategia para ese jugador y demostrar que es ganadora. Si la respuesta es no, explicar por qué ningún jugador tiene una estrategia ganadora.
Problema 337
Santi y Cristina juegan en una mesa redonda al siguiente juego:
Sobre el borde de la mesa hay $99$ huecos, que forman los vértices de un polígono regular de $99$ lados. Se tienen bolitas de color rojo o azul, una cantidad ilimitada de bolitas de cada color. Comienza Cristina, que coloca una bolita en uno de los huecos, luego, alternadamente, cada jugador coloca una bolita en un hueco adyacente a otro que haya sido ocupado en alguno de los turnos anteriores. El juego termina cuando todos los huecos están ocupados.
Si al finalizar el juego hay $3$ bolitas de un mismo color que son los vértices de un triángulo equilátero, gana Santi. En otro caso, gana Cristina.
Decidir si alguno de los jugadores tiene una estrategia ganadora. Si la respuesta es sí, dar una estrategia para ese jugador y demostrar que es ganadora. Si la respuesta es no, explicar por qué ningún jugador tiene una estrategia ganadora.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
Re: Maratón de Problemas
Solución al 337
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.
Re: Maratón de Problemas
Problema 338
Hallar todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes enteros tales que $P(P(n)+n)$ es un número primo para infinitos enteros $n$.
Hallar todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes enteros tales que $P(P(n)+n)$ es un número primo para infinitos enteros $n$.
Re: Maratón de Problemas
Problema 339
Hallar todos los tríos $(x,y,z)$ de números enteros tales que
$$2^x+2017^y=2019^z$$
Hallar todos los tríos $(x,y,z)$ de números enteros tales que
$$2^x+2017^y=2019^z$$
Re: Maratón de Problemas
Solución 339
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.
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Turko Arias
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Re: Maratón de Problemas
Ya que no hay problema publicado, es un buen momento para decir que este problema sigue sin ser resuelto
El problema dice que en cada fila y en cada columna NO HAYA DOS NÚMEROS QUE DIFIERAN EN $0$ O EN $1$, en ningún momento habla de números adyacentes, sino en toooda la fila y en tooooda la columna, la solución que pongo abajo de @jhn no funciona porque lo resuelve para números adyacentes, pero para el enunciado original no funciona porque, por ejemplo, $1$ y $2$ difieren en uno y se encuentran en la misma filaTurko Arias escribió: ↑Dom 30 Jun, 2019 7:23 pm Buenas buenas, para darle vida a esto y aprovechar que se vienen las vacaciones cambio el problema en vigencia, que ya lleva un par de meses sin ser resuelto
Problema $335+\epsilon$, con $\epsilon$ arbitrariamente chico
Hallar el menor entero positivo $n$ tal que podemos escribir los números $1,2,\dots ,n$ en una cuadrícula de $18 \times 18$ de manera que:
$i)$ Cada número aparezca al menos una vez
$ii)$En cada fila y en cada columno, no haya dos números que difieran en $0$ o en $1$.
Fundamentalista del Aire Acondicionado
Y todo el orgullo de ser bien bilardista
Y todo el orgullo de ser bien bilardista
Re: Maratón de Problemas
En efecto, leí mal el enunciado y resolví un problema diferente al propuesto. El mínimo $n$ es 37, ya edité mi solución.
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.
Re: Maratón de Problemas
Problema 340
Hay 100 estudiantes tomando un examen. El profesor los llama uno por uno y les hace una sola pregunta: ¿Cuántos de los 100 estudiantes resultarán aprobados al finalizar este examen? La respuesta del estudiante debe ser un número entero. Una vez oída la respuesta, el profesor de inmediato y públicamente anuncia su veredicto, que puede ser aprobado o reprobado. Una vez examinados todos los estudiantes, llega un inspector que revisa si algún estudiante fue reprobado pero dijo la respuesta correcta. Si hay al menos un estudiante en esa situación, entonces el profesor es suspendido y todos los estudiantes aprueban el examen. De lo contrario, no se realiza ningún cambio. ¿Pueden los estudiantes ponerse de acuerdo en alguna estrategia que les permita aprobar el examen a todos?
Hay 100 estudiantes tomando un examen. El profesor los llama uno por uno y les hace una sola pregunta: ¿Cuántos de los 100 estudiantes resultarán aprobados al finalizar este examen? La respuesta del estudiante debe ser un número entero. Una vez oída la respuesta, el profesor de inmediato y públicamente anuncia su veredicto, que puede ser aprobado o reprobado. Una vez examinados todos los estudiantes, llega un inspector que revisa si algún estudiante fue reprobado pero dijo la respuesta correcta. Si hay al menos un estudiante en esa situación, entonces el profesor es suspendido y todos los estudiantes aprueban el examen. De lo contrario, no se realiza ningún cambio. ¿Pueden los estudiantes ponerse de acuerdo en alguna estrategia que les permita aprobar el examen a todos?
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.