Entrenamiento Ibero 2019 P18

[Matías]

Demostrar que para todas las ternas $(x,y,z)$ de números positivos se cumple la desigualdad$$\frac{x}{\sqrt{3y^2+3z^2+2yz}}+\frac{y}{\sqrt{3z^2+3x^2+2zx}}+\frac{z}{\sqrt{3x^2+3y^2+2xy}}\geq\frac{3}{\sqrt{8}}.$$

[Mijail]

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Mmmm... Recien aprendo a usar $Latex$ , veamos: Bueno

Desigualdad.jpg

la solucion esta en la imagen y encontre una cota mas fuerte

[BrunZo]

Demostrar que para todas las ternas $(x,y,z)$ de números positivos se cumple la desigualdad
$$\frac{x}{\sqrt{3y^2+3z^2+2yz}}+\frac{y}{\sqrt{3z^2+3x^2+2zx}}+\frac{z}{\sqrt{3x^2+3y^2+2xy}}\geq\frac{3}{8}$$

El enunciado original decía $\frac{3}{\sqrt{8}}$, y ahí la cota sí se alcanza con $x=y=z$.

[Mijail]

Mmmmm... Okey En un rato lo corrijo

Okey, ya lo corregi, me gusto mucho el problema, gracias por la correccion

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Bueno aqui mi solucion que usa la desigualdad de Schur, aun no se usar bien $Latex$ asisque espero que se entienda, de antemano las disculpas por la letra.

Desigualdad chevere.jpeg