Com – Partida de Matemática del Uruguay

[bolonia]

De un triángulo rectángulo de lados enteros se sabe que el cateto menor mide $120$.

1. Encuentra las longitudes de los otros dos lados, sabiendo que su diferencia es la
   menor posible
2. Ídem para que la diferencia entre ellos sea la mayor posible.

(No se puede utilizar calculadora)

[DiegoLedesma]

i)

Spoiler: mostrar

En el triángulo rectángulo, siendo $a$ la hipotenusa, $b$ el cateto mayor y $c=120$ el menor, se tiene que $a^2=b^2+120^2\Rightarrow a^2-b^2=120^2$ y factorizando: $(a+b)(a-b)=2^6\cdot 3^2\cdot 5^2$. Al buscar que $a$ y $b$ tengan la menor diferencia posible, diremos que $a-b=2$ (no $1$, pues esto implicaría decir que $a+b=c^2$, lo que no cumpliría con Pitágoras)
Si $a-b=2\Rightarrow a+b=2^5\cdot 3^2\cdot 5^2$, resolviendo el sistema formado por ambas ecuaciones, obtenemos $a=3601$, $b=3559$, longitudes de los otros dos lados con la menor diferencia posible.

ii)

Spoiler: mostrar

Al buscar que $a$ y $b$ tengan la mayor diferencia posible, partimos de que $a^2=b^2+120^2$. Sea $\alpha$ el ángulo interior del triángulo ($0º<\alpha<90º$), comprendido entre el cateto $b$ y la hipotenusa $a$. Usando trigonometría, es válido afirmar que $\cos \alpha=\frac{b}{a}$. Así como la mínima diferencia entre $a$ y $b$ se obtiene cuando $\alpha$ tiende a $0º$ ($a$ y $b$ tienden a ser iguales, pues $\cos (0º)=1$), la máxima se obtendrá cuando $\alpha$ tienda a $90º$. Esto significa que $b$ deberá tomar el valor más cercano posible al cateto menor.
Teniendo en cuenta que $b\in \mathbb{N}$ y $b>120$, probamos con los naturales a partir de $121$ y reemplazamos en la ecuación $a^2=b^2+120^2$. El primer resultado natural que se obtenga para $a$, nos indicará que hemos obtenido $(a,b)$ tal que $a-b=k$ es máximo, y esto se logra para $b=126$, valor al que le corresponde $a=174$.

[Cristianchess]

i)

Spoiler: mostrar

En el triángulo rectángulo, siendo $a$ la hipotenusa, $b$ el cateto mayor y $c=120$ el menor, se tiene que $a^2=b^2+120^2\Rightarrow a^2-b^2=120^2$ y factorizando: $(a+b)(a-b)=2^6\cdot 3^2\cdot 5^2$. Al buscar que $a$ y $b$ tengan la menor diferencia posible, diremos que $a-b=2$ (no $1$, pues esto implicaría decir que $a+b=c^2$, lo que no cumpliría con Pitágoras)
Si $a-b=2\Rightarrow a+b=2^5\cdot 3^2\cdot 5^2$, resolviendo el sistema formado por ambas ecuaciones, obtenemos $a=3601$, $b=3559$, longitudes de los otros dos lados con la menor diferencia posible.

ii)

Spoiler: mostrar

Al buscar que $a$ y $b$ tengan la mayor diferencia posible, partimos de que $a^2=b^2+120^2$. Sea $\alpha$ el ángulo interior del triángulo ($0º<\alpha<90º$), comprendido entre el cateto $b$ y la hipotenusa $a$. Usando trigonometría, es válido afirmar que $\cos \alpha=\frac{b}{a}$. Así como la mínima diferencia entre $a$ y $b$ se obtiene cuando $\alpha$ tiende a $0º$ ($a$ y $b$ tienden a ser iguales, pues $\cos (0º)=1$), la máxima se obtendrá cuando $\alpha$ tienda a $90º$. Esto significa que $b$ deberá tomar el valor más cercano posible al cateto menor.
Teniendo en cuenta que $b\in \mathbb{N}$ y $b>120$, probamos con los naturales a partir de $121$ y reemplazamos en la ecuación $a^2=b^2+120^2$. El primer resultado natural que se obtenga para $a$, nos indicará que hemos obtenido $(a,b)$ tal que $a-b=k$ es máximo, y esto se logra para $b=126$, valor al que le corresponde $a=174$.

Se me hace que usaste calculadora :v

[bolonia]

Final de 2017 de nivel 3.