Phi de Euler de una potencia de un numero primo
Phi de Euler de una potencia de un numero primo
Sea $\mathbb{P}=\{p\in \mathbb{N}-\{ 1 \}~/~\nexists ~d\in \mathbb{N}-\{p;1\}~/~d\mid p\}$ (conjunto de los números primos)
Sea $\varphi :\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$
$/~\varphi (n)=\# \{x\in \mathbb{N}\cap [1;n]~/~\text{mcd}(x;n)=1\}$
Si $n\in \mathbb{N},~p\in \mathbb{P} \Rightarrow \varphi \left (p^n\right )=p^n-p^{n-1}$
Demostración:
Sea $\varphi :\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$
$/~\varphi (n)=\# \{x\in \mathbb{N}\cap [1;n]~/~\text{mcd}(x;n)=1\}$
Si $n\in \mathbb{N},~p\in \mathbb{P} \Rightarrow \varphi \left (p^n\right )=p^n-p^{n-1}$
Demostración: