Com – Partida de Matemática del Uruguay

[bolonia]

(Probelma 2 de XXXI Olimpíada Nacional de Matemática – 2016 Instancia Final
Nivel III)
$ABCD$ es un trapecio isósceles en el cual $AD=BC=5$, $AB=4$ y $DC=10$.
$F$ es un punto de la recta $CD$ tal que el triángulo $DFE$ es rectángulo en $F$ y el punto $B$ es el punto medio del segmento $DE$.
Calcular la longitud del segmento $CF$.
(No se puede utilizar calculadora)

[RenatoGolf]

Buenas tardes. Lo primero que hice fue probar la posición de los puntos ${\boldsymbol{ABCD}}$ para que se cumplan las longitudes y el enunciado, luego mediante elementos geométricos tracé el trapecio isósceles. Para conocer la altura $\bar{\boldsymbol{BR}}$ utilicé el teorema de Pitágoras, (respetando que no se puede utilizar calculadora), dando como resultado de dicho lado $=$ ${\boldsymbol{4}}$.

Al trazar el segmento $\bar{\boldsymbol{BE}}$ tracé luego el segmento perpendicular a la recta $\bar{\boldsymbol{DC}}$ dando el punto ${\boldsymbol{F}}$. $\:$

$\bar{\boldsymbol{DB}}$ $=$ $\bar{\boldsymbol{BE}}$ $=$ $\bar{\boldsymbol{EF}}$ $=$ $\bar{\boldsymbol{BF}}$

$\:$

Ya trazado todo el enunciado, como $\bar{\boldsymbol{DB}}$ $=$ $\bar{\boldsymbol{BF}}$ podemos observar que el triángulo ${\boldsymbol{BEF}}$ es equilatero y el triángulo ${\boldsymbol{DBF}}$ es isósceles.

El triángulo ${\boldsymbol{DBR}}$ $=$ al triángulo ${\boldsymbol{BRF}}$ y su eje de simetría es $\bar{\boldsymbol{BR}}$ $\:$
Por ende,

$\bar{\boldsymbol{CF}}$ $=$ $\bar{\boldsymbol{RF}}$ $-$ $\bar{\boldsymbol{RC}}$ $=$ ${\boldsymbol{7}}$ $-$ ${\boldsymbol{3}}$ $=$ ${\boldsymbol{4}}$

Rta: $\bar{\boldsymbol{CF}}$ $=$ ${\boldsymbol{4}}$

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[Fran5]

$\bar{\boldsymbol{DB}}$ $=$ $\bar{\boldsymbol{BE}}$ $=$ $\bar{\boldsymbol{EF}}$ $=$ $\bar{\boldsymbol{BF}}$

Ya trazado todo el enunciado, como $\bar{\boldsymbol{DB}}$ $=$ $\bar{\boldsymbol{BF}}$ podemos observar que el triángulo ${\boldsymbol{BEF}}$ es equilatero y el triángulo ${\boldsymbol{DBF}}$ es isósceles.

Esto no está del todo bien.

Cómo sabes que $BE=EF$?. En ese caso no puedes concluir que $BEF$ sea equilátero. ¡Y de hecho no lo es!

Lo que podés hacer es decir que $DB=BE=BF$, a partir de la propiedad de mediana de un triángulo rectángulo.

[RenatoGolf]

$\bar{\boldsymbol{DB}}$ $=$ $\bar{\boldsymbol{BE}}$ $=$ $\bar{\boldsymbol{EF}}$ $=$ $\bar{\boldsymbol{BF}}$

Ya trazado todo el enunciado, como $\bar{\boldsymbol{DB}}$ $=$ $\bar{\boldsymbol{BF}}$ podemos observar que el triángulo ${\boldsymbol{BEF}}$ es equilatero y el triángulo ${\boldsymbol{DBF}}$ es isósceles.

Esto no está del todo bien.

Cómo sabes que $BE=EF$?. En ese caso no puedes concluir que $BEF$ sea equilátero. ¡Y de hecho no lo es!

Lo que podés hacer es decir que $DB=BE=BF$, a partir de la propiedad de mediana de un triángulo rectángulo.

Tenes razón, $BE=EF$? lo deduje a partir de la figura con elementos geométricos que realice. Pero justificarlo a partir de esa propiedad es muchísimo más acorde. Aguante Santa Fe.

[Fran5]

Tenes razón, $BE=EF$? lo deduje a partir de la figura con elementos geométricos que realice. Pero justificarlo a partir de esa propiedad es muchísimo más acorde. Aguante Santa Fe.

Mmmm.. bueno, esto es algo que nunca debes hacer, porque terminas realizando afirmaciones que son erróneas