Pretorneo de las ciudades, año 1995. Problema 2 (nivel mayor)

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Dauphineg

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Pretorneo de las ciudades, año 1995. Problema 2 (nivel mayor)

Mensaje sin leer por Dauphineg » Dom 03 May, 2020 2:05 am

Cuatro pulgas están paradas en los vértices de un cuadrado. Cada segundo, una de las pulgas salta por encima de una de las
restantes hasta el punto simétrico (si $X$ salta sobre $Y$ hasta $X'$, entonces $X, Y,X'$ estan alineados y $XY=YX'$).
Demostrar que después de varios saltos no puede haber tres pulgas alineadas.

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Luli97

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Re: Pretorneo de las ciudades, año 1995. Problema 2 (nivel mayor)

Mensaje sin leer por Luli97 » Vie 25 Sep, 2020 12:12 am

Gracias ¿hola? por la corrección, había leído mal el enunciado!

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¿hola?

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Re: Pretorneo de las ciudades, año 1995. Problema 2 (nivel mayor)

Mensaje sin leer por ¿hola? » Vie 25 Sep, 2020 1:46 am

Luli97 escribió:
Vie 25 Sep, 2020 12:12 am
Spoiler: mostrar
Vamos a distinguir los $3$ pasos claves para resolver este problema (y muchos otros problemas de invariantes).
  • Notar que el área del triángulo que forman las $3$ pulgas es invariante.
Sean $X$, $Y$, $Z$ las posiciones de las pulgas. Si $X$ salta sobre $Y$ hasta $X'$ como dice el enunciado, $XY=YX'$ y como los puntos $X$, $Y$, $X'$ están alineados, la distancia desde el punto $Z$ hasta la recta formada por esos $3$ puntos es la altura tanto del triángulo $XYZ$ como del $X'YZ$. Luego, se mantuvo la medida de la base y la altura del triángulo, es decir, el área es invariante por los saltos de las pulgas.
  • Notar que el área del triángulo que forman inicialmente es $\frac{1}{2}l^2$.
Si llamamos $l$ al lado del cuadrado, como al comienzo las $3$ pulgas están ubicadas en vértices distintos del cuadrado, forman un triángulo rectángulo de base $l$ y altura $l$. Por lo tanto, el área del triángulo inicial es $\frac{1}{2}l^2$.
  • Notar que el área del triángulo que formarían si estuvieran alineadas es $0$.
Como el área del triángulo que forman las $3$ pulgas inicialmente es distinta del área que formarían en caso de estar alineadas, y el ésta es invariante por los saltos mencionados en el enunciado, queda demostrado que las pulgas nunca llegarán a estar alineadas.
Spoiler: mostrar
SI bien al realizar la operación sobre las pulgas $X$ e $Y$, los triángulos $X,Y,W$ y $X,Y,Z$ mantienen sus áreas, los triángulos entre las pulgas $X,Z,W$ e $Y,Z,W$ no lo hacen necesariamente (siendo $W$ la otra hormiga) y podría ser alguno de estos triángulos el que cambie su área a $0$. Creo.
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BrunZo

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Re: Pretorneo de las ciudades, año 1995. Problema 2 (nivel mayor)

Mensaje sin leer por BrunZo » Vie 25 Sep, 2020 12:02 pm

¿Y esto?
Spoiler: mostrar

Consideremos una grilla cuadriculada, uno de cuyos cuadrados es el cuadrado inicial. Notemos que reflejar uno de los puntos de esta grilla por cualquier otro punto, devuelve un tercer punto EN la grilla, de modo que las pulgas se mueven siempre por puntos de la grilla.

Ahora bien, supongamos que numeramos los vértices de la grilla de la siguiente forma:
  • Las filas pares (tomando el 0 en algún lugar arbitrario) están numeradas por ... 1 2 1 2 1 2 ...
  • Las filas impares están numeradas por ... 3 4 3 4 3 4 ...
grilla.png
Ahora, notemos que reflejar un punto de la grilla por cualquier otro no solo devuelve otro punto en la grilla, si no que uno de la misma paridad tanto en las columnas como en las filas (precisamente, porque el promedio entre la fila/columna del comienzo y la final tiene que ser entero), luego el conjunto de 4 números correspondientes a los lugares de las pulgas es invariante.

Pero bueno, como empiezan en un cuadrado, las pulgas empiezan en {1,2,3,4}, así que en todo momento deberían seguir así. Pero si terminaran 3 alineadas, estás 3 tendrían que tener uno de dos números, pero entonces por Palomar habría dos pulgas en el mismo número, lo cual es absurdo.

Estaría bueno ver si se pueden obtener cualesquiera cuatro puntos numerados {1,2,3,4} a partir del cuadrado...
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