Observemos que $2^y-3^x \equiv 0 (mod 15)$.
Vemos que $2^y \equiv r_1 (mod 15)$,
Siendo $r_1$ el conjunto$\left\{ 1,2,4,8 \right\}$.
Vemos tambien que $3^x \equiv r_2 (mod 15)$
Siendo $r_2$ el conjunto $\left \{ 1,3,6,9,12 \right \}$
Sabemos ademas que $p_1-p_2=0$ (Siendo $p_1$ y $p_2$ cualquier elemento de$r_1$ y $r_2$respectivamente).
Por deducción observemos que...$\Rightarrow$
$p_1=1$ y
$p_2=1$
Para lograr esto tenemos que=$y=4k$ con $k \in \mathbb{N}$
y $x=0$
Ahora resolvemos la ecuación:
$2^y-3^0=15$
$2^y-1=15$
$2^y=16$
$\log_{2}2^y=\log_{2}16$
$y=4$
Dando una única solución:$\binom{x,y}{0,4}$
Última edición por julianferres_ el Jue 29 Mar, 2012 6:34 pm, editado 1 vez en total.
Primero reescribimos la ecuación como [math]2^y=15+3^x. Supongamos que [math]x\geq 1, entonces el lado derecho de la ecuación va a ser múltiplo de 3, dado que [math]15 y [math]3^x van a ser múltiplos de 3. Pero entonces, [math]2^y debería ser múltiplo de 3, lo cual es imposible. Luego, se sigue que es imposible que sea [math]x\geq 1, por lo que la única posibilidad es [math]x=0. Por ende, [math]2^y=15+3^0=16, desde acá, es fácil ver que [math]y=4 es la única solución posible, por lo que el único par es el [math](0,4).
Sea [math]\theta = 1,3063778838... Para todo entero positivo [math]k se cumple que [math]\left\lfloor \theta^{3^k}\right\rfloor es un número primo.
Sabemos que $2^{y}-3^{x}=15$ / $x,y$ $\epsilon$ $\mathbb{N_0}$ (considero esto porque sino no tendría sentido el problema). Por esto tenemos que:
$2^{y}=15+3^{x}$, y si $x>0 \Rightarrow 2^{y}\equiv 0\pmod 3$ Lo cual es un absurdo $\Rightarrow x=0 \Rightarrow$
$\Rightarrow 2^{y}=16 \Rightarrow y=4$
Por esto, el único par $(x,y)$ que cumple es $(0,4)$
Si vemos la lista de potencias de 2 y 3 tenemos:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ....
3, 9, 27, 81, 243, 729, ....
Si le pegamos un ojo a los restos de cada uno podemos ver que las potencias de 2 tienen resto 1, 2, 4, 8 modulo 15, mientras que las potencias de 3 (Excluyendo el 1) tienen resto 3, 9, 12, 6. Por lo tanto, como no podemos formar un resto 0 restando los restos de 2 y los de 3, es imposible que exista una solución para cualquier potencia de 3 que no sea el 1.
