Sea $a$ un número real fijo $a>0 \Rightarrow \sqrt{2a}> 0$ y sea $z$ un número variable $0< z< \sqrt{2a}$
Si en la ecuación funcional reemplazamos $x=z$ e $y=\sqrt{2a}-z$ tendremos
$f\left (\sqrt{2a} \right )=f\left (z^{2}+\left (\sqrt{2a}-z \right )^{2} \right )=f\left (z^{2}+2a-2\sqrt{2a}.z + z^{2} \right )=f\left (2 z^{2}-2\sqrt{2a}.z +2a\right )$ $(*)$
Analizando la función cuadrática $g\left ( z\right )= 2z^{2}-2\sqrt{2a}.z+2a$ podemos ver que tiene su vértice en $\left (\frac{\sqrt{2a}}{2}; a \right )$
la concavidad hacia arriba y como el dominio es $\left (0,\sqrt{2a} \right )$ la imagen será $\left [ a,2a \right )$
Luego para todo $k \in \left [ a,2a \right )$ existira un $z\in \left ( 0,\sqrt{2a } \right )$ tal que $g\left ( z \right )=k$
Luego reemplazando en $(*)$ tenemos que para todo $k \in \left [ a,2a \right )$ sera $f\left (\sqrt{2a} \right )=f(k)$
y esto nos dice que $f$ es constante en todo el intervalo $\left [ a,2a \right )$ ya que $f\left (\sqrt{2a} \right )$ es un número fijo, pero esto ocurrirá para cualquier número que elijamos, es decir que si elegimos el doble del número que habíamos elegido hoy, o sea $2a$ llegaremos a que $f$ es constante en el intervalo $\left [ 2a,4a \right )$ y si elegimos ahora $\frac{3}{2}.a$ llegamos a $f$ es constante en el intervalo $\left [ \frac{3}{2}.a,3a \right ) \Rightarrow f(2a)=f(\frac{3}{2}.a)=f(a)$ y esto nos concluye que $f$ es constante en todo el intervalo cerrado $\left [ a,2a \right ]$ para cualquier número positivo $a$.
Gracias a este último resultado podemos probar que $f$ es contante en cualquier intervalo cerrado $\left [ a,2^n.a \right ]$ donde $n\in\mathbb{N}$ y $a> 0$ un real cualquiera, esto se puede hacer facilmente por inducción sobre $n$ y se deja como tarea para el lector.
Vamos ahora a probar que $f$ es constante en todo su dominio $\mathbb{R^+}$
Sean $u$ y $v$ dos reales positivos distintos con $u\leq v$, el número $\frac{v}{u}$ es finito y por tanto existirá $n\in \mathbb{N}\mid 2^{n}\geq \frac{v}{u} \Leftrightarrow u.2^{n}\geq v$
luego $v\in \left [ u,2^{n}.u \right ]$ y en dicho intervalo $f$ es contante $\Rightarrow f(v)=f(u)$ y quedo probado que $f$ es constante
La verificación de que cumplen la ecuación funcional es inmediata así que las únicas soluciones son las funciones constantes
