Mateclubes - Nivel 4 - 2019 Segunda ronda - Problema 2

[marian]

En las casillas de un tablero circular están escritos algunos números, como se ve en la figura.

Ana puede elegir dos números vecinos y multiplicarlos por un mismo número entero positivo.

Repitiendo esta operación varias veces, quiere llegar a que en todas las casillas aparezca el mismo número.

Cada vez puede elegir cualquier par de números vecinos y multiplicarlos por cualquier número.

Si quiere que el número que queda escrito en las casillas sea el menor posible, ¿cómo puede hacerlo? ¿Qué número queda escrito en las casillas?

22da2da4_1.png

[Caro - V3]

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Pongamos los números en una tira para hacer más fácil:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
2 & 4 & 5 & 12 & 14 \\ \hline
\end{array}$

Y factoricemos:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
2 & 2^2 & 5 & 2^2 \cdot 3 & 2 \cdot 7 \\ \hline
\end{array}$

Ahora es mucho más fácil ver que nos falta multiplicar por algunos números para lograr que queden todos iguales.

Empecemos multiplicando por 7 a los cuatro primeros números. Esto lo podemos hacer así:
(1° y 2°) $\rightarrow \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
2 \cdot 7 & 2^2 \cdot 7 & 5 & 2^2 \cdot 3 & 2 \cdot 7 \\ \hline
\end{array}$
(3° y 4°) $\rightarrow \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
2 \cdot 7 & 2^2 \cdot 7 & 5 \cdot 7 & 2^2 \cdot 3 \cdot 7 & 2 \cdot 7 \\ \hline
\end{array}$

Multiplicamos por 5 a los cuatro que le falta ese factor:
(1° y 2°) $\rightarrow \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
2 \cdot 5 \cdot 7 & 2^2 \cdot 5 \cdot 7 & 5 \cdot 7 & 2^2 \cdot 3 \cdot 7 & 2 \cdot 7 \\ \hline
\end{array}$
(4° y 5°) $\rightarrow \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
2 \cdot 5 \cdot 7 & 2^2 \cdot 5 \cdot 7 & 5 \cdot 7 & 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 & 2 \cdot 5 \cdot 7 \\ \hline
\end{array}$

Por 3:
(2° y 3°) $\rightarrow \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
2 \cdot 5 \cdot 7 & 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 & 3 \cdot 5 \cdot 7 & 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 & 2 \cdot 5 \cdot 7 \\ \hline
\end{array}$
(1° y 5°) $\rightarrow \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 & 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 & 3 \cdot 5 \cdot 7 & 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 & 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \\ \hline
\end{array}$
(recordemos que el 1° y el 5° son vecinos porque el tablero es circular)

Ahora hay que igualar la cantidad de factores 2, para que sea al menos la misma del 2° y del 4°:
(1° y 5°) $\rightarrow \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 & 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 & 3 \cdot 5 \cdot 7 & 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 & 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \\ \hline
\end{array}$
En este punto nos quedan cuatro números iguales, y el diferente sólo habría que multiplicarlo por 4. El problema es que esto no es posible, porque sólo se pueden multiplicar pares de números vecinos. De alguna forma tenemos que agregarle (por lo menos) $2^2$ al 3°, y al hacer esto se agregan factores también al 2° y/o al 4°. Por lo tanto, sabemos que hay que agregar al menos un factor 2 al número final, y además podemos ver que si intentamos agregar sólo uno, nos quedan el 2° y el 3° (o el 3° y el 4°) con distinta cantidad de factores 2. Entonces nuestro número final va a ser por lo menos $2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$, y una forma de lograrlo es la siguiente:
$\times 2^2$ (2° y 3°) $\rightarrow \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 & 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 & 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 & 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 & 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \\ \hline
\end{array}$
$\times 2^2$ (3° y 4°) $\rightarrow \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 & 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 & 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 & 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 & 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \\ \hline
\end{array}$
$\times 2^2$ (1° y 5°) $\rightarrow \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 & 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 & 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 & 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 & 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \\ \hline
\end{array}$

Por lo tanto, el menor número que puede quedar es $1680$.

[marian]

Millones de gracias!!!!!!!