Suma de Gauss

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Luli97

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Suma de Gauss

Mensaje sin leer por Luli97 »

Cuenta la historia, que cuando Gauss iba a la escuela, el maestro le propuso al grupo el problema de sumar los números del $1$ al $100$, con el objetivo de mantenerlos entretenidos por un largo rato. Pero al poco tiempo, Gauss halló la respuesta, el maestro sorprendido al comprobar que la respuesta obtenida era la correcta, le preguntó cómo la había calculado tan rápidamente. Acá les cuento lo que Gauss respondió:

Al sumar los números de los extremos de la lista, el $1$ con el $100$, el $2$ con el $99$ y así siguiendo, siempre obtenemos $101$.
suma_gauss.PNG
Por lo tanto, la suma de los números del $1$ al $100$, se puede calcular como $101 \cdot 50=5050$, pues hay $50$ parejas en total.

Esta idea se puede generalizar para poder calcular la suma de los números enteros del $1$ al $n$ para cualquier $n$ natural. Otra forma de calcular esta suma es escribiendo la lista de los números del $1$ al $n$ y debajo de ellos la lista del $n$ al $1$, es decir, la misma lista pero en el orden inverso. De esta manera, se puede observar que todas las columnas suman lo mismo: $n+1$.
otra_suma.PNG
Como en total aparece $n$ veces el número $n+1$, la suma de la tercera fila es $n \cdot (n+1)$. Pero a su vez, es la suma de los números de $1$ al $n$ contados dos veces cada uno, es decir, sólo resta dividir el resultado por $2$. Así llegamos a la conclusión de que:
$$1+2+...+n=\dfrac{n \cdot (n+1)}{2}$$
A esta fórmula para calcular la suma de los números del $1$ al $n$ se la conoce como suma de Gauss.

Observación:
Para calcular la suma de los números desde $m$ hasta $n$, con $m<n$, podemos calcular la suma desde $1$ hasta $n$ y luego restarle la suma desde $1$ hasta $m-1$.
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Juan Cruz Roldán

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Re: Suma de Gauss

Mensaje sin leer por Juan Cruz Roldán »

Otro acercamiento bastante popular a la hora de resolver este problema es graficando la suma de números sucesivos mediante la construcción de un triángulo a base de puntos donde la punta es el número $1$ y cada nivel inferior el sucesor del anterior, teniendo así $n$ niveles. Solo basta con duplicar el área del triángulo para obtener un rectángulo y calcular así el valor de la suma mediante la fórmula de su área $(b \times h) /2$.
Este enfoque se puede aplicar con diversas figuras geométricas y de ellas salen conceptos muy interesantes como el de números triangulares o pentagonales
Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos:
– y = ax2 + bx + c
– ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos.
– A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

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