FOFO 9+1 Años - Problema 2

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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AgusBarreto

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FOFO 9+1 Años - Problema 2

Mensaje sin leer por AgusBarreto »

Un entero positivo es pandémico si al sumar los cuadrados de sus cifras y repetir esta operación suficientes veces obtenemos el número $1$. Por ejemplo, $1900$ es pandémico, ya que $1900\to 82\to 68\to 100\to 1.$ A los números pandémicos $n$ que cumplen que $n+1$ también es pandémico se los llama números maradonianos. Demostrar que existen infinitos números maradonianos.

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AgusBarreto

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Re: FOFO 9+1 Años - Problema 2

Mensaje sin leer por AgusBarreto »

Aquí vamos a publicar la solución oficial.

joa.fernandez

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Re: FOFO 9+1 Años - Problema 2

Mensaje sin leer por joa.fernandez »

Solución:
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Notemos que $31$ es maradoniano, ya que:

$31 - 10 - 1$, y $32 - 13 - 10 - 1$.
Ahora, si tomamos el número $A = \dfrac{10^{31} -1}{9}\cdot 10^k = \underbrace{1\cdots 1}_{31} \underbrace{0\cdots 0}_{k}$ con $k \in \mathbb{Z}^+$, este siempre es maradoniano, ya que la suma de los cuadrados de las cifras de $A$ es $31$, y el de $A+1$ es $32$, y como $k$ es arbitrario, son infinitos.

Laureano U

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Re: FOFO 9+1 Años - Problema 2

Mensaje sin leer por Laureano U »

Envío mi solución, que es bastante parecida a la de @joa.fernandez (de hecho, elejí el mismo ejemplo) , sólo que bastante menos elegante (y cuando digo bastante, quiero decir bastante). En fin, la solución:
Spoiler: mostrar
Durante mi explicación, cuando hable de "operación" u "operación pandémica" me refiero al proceso de sumar los cuadrados de los dígitos.
Notemos, primero que todo, que si "añado" un 0 a un número, como $0^2=0$, no cambiará la suma de los cuadrados de sus dígitos. Es decir, que hay números pandémicos infinitos, ya que si tengo un número pandémico, y le "añado" $0$, seguirá siendo pandémico. Veamos el caso del $19$ (por ejemplo), tenemos: $19→82→68→100→1$. Luego, si vemos el $19000$, veamos que queda: $19000→82$, y luego sabemos que quedará igual, (ya que la suma del 82 y los siguientes no cambiará). Por lo que, allí probé que los números pandémicos son infinitos si hay uno o más.
Luego, veamos que si tenemos un número maradoniano terminado en cualquier dígito, menos $9$ (ya que -al menos- cambiaría la decena, al sumarle 1), al sumarle uno, deberíamos tener un número pandémico. Por lo que, usando la anterior "técnica" de "añadir" 0s al número, podríamos demostrar con un sólo número maradoniano que estos son infinitos. Por ejemplo, en el caso de 190 (que no es maradoniano, pero lo uso para ejemplificar lo explicado), veamos que tenemos: $190→82→68→100→1$. A su vez, sabemos que en 1900, 1009, 19000, etc. seguiremos teniendo los mismos números al realizar la "operación pandémica". También veamos que, en $191$ al realizar las operaciones tenemos: $191→83→73→58→...$, y que en $1901$ tendremos lo mismo, ya que sólo añadimos un 0, lo que, como ya aclaramos al principio, no afecta la operación pandémica.
Entonces, encontrando un sólo número maradoniano, probamos que son infinitos, ya que al mismo, y a su siguiente podemos añadirles infinitos 0s. Como, por ejemplo: $31→10→1$, que es maradoniano, ya que $32→13→10→1$. Por lo que, por lo ya explicado anteriormente, puedo afirmar que $31,301,3001,30001,300001,...$ serán maradonianos, ya que $32,302,3002,30002,300002,...$
Y así demuestro que los números maradonianos son infinitos.

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LorenzoRD

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Re: FOFO 9+1 Años - Problema 2

Mensaje sin leer por LorenzoRD »

Spoiler: mostrar
- Si un entero positivo $N$ es pandémico, entonces el entero positivo $M$, formado por $N$ dígitos $1$ consecutivos, es pandémico.
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Esto ocurre porque ya que $M → 1^2 + 1^2 + ... + 1^2$ ($N$ veces $1$), entonces $M → N$, desde el cuál se obtiene el $1$ luego de una cantidad suficiente de operaciones, por lo que $M$ es pandémico.
- Si los enteros positivos $N$ y $N + 3$ son pandémicos, entonces el entero positivo $M$ (definido de igual forma que antes) es maradoniano.
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Como vimos antes, $M$ es pandémico. $M + 1$ está formado por $N - 1$ dígitos $1$ y un $2$ al final. Entonces $M + 1 → 1^2 + 1^2 + ... + 1^2 + 2^2$ ($N - 1$ veces $1$), y queda $M + 1 → N + 3$.
- Todos los enteros positivos $M(n)$ formados por $N(n) = 10^n + 9*10^{n - 1}$ dígitos $1$ con, $n ≥ 2$ entero son maradonianos.
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$N(n) → 1^2 + 9^2 = 82 → 8^2 + 2^2 = 68 → 6^2 + 8^2 = 100 → 1^2 + 0^2 + 0^2 = 1$ ($N(n)$ es pandémico)

$N(n) + 3 → 1^2 + 9^2 + 3^2 = 91 → 9^2 + 1^2 = 82 → 8^2 + 2^2 = 68 → 6^2 + 8^2 = 100 → 1^2 + 0^2 + 0^2 = 1$ ($N(n) + 3$ es pandémico)

Por lo que los números $M(n)$ son maradonianos.
- Hay infinitos números maradonianos.
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Como para todo entero $n ≥ 2$ el número $M(n)$ es maradoniano, y hay infinitos enteros $n$ tales que $n ≥ 2$, entonces hay infinitos números maradonianos.

PD: y no hay enteros positivos $i,j$ ($i \not= j$) tales que $M(i) = M(j)$ ya que por cómo están definidos, todos los números $M_n$ tienen distinta cantidad de dígitos.
1  
Ver este mensaje... te llena de determinación.

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