Polar y polo trilineal

[Juaco]

Dado un triángulo $ABC$ y un punto interior $X$ se tiene el triángulo ceviano $DEF$ con $D\in BC$, $E\in AC$ y $F\in AB$.
Entonces los puntos $P=EF\cap BC$, $Q=FD\cap CA$ y $R=DE \cap AB$ son colineales en una recta $d$.
Al punto $X$ se le llama polo trilineal de $d$ y a la recta $d$ se le llama tripolar de $X$.

[BrunZo]

Voy a dejar una respuesta rápida:

Spoiler: mostrar

Lo podemos ver como una superposición de muchos Cevas / Menelaos (sí, aunque no guste, creo que en el fondo es bastante pasable)
Primero que nada, por Ceva vale que
$$\frac{CE}{EA}\frac{AF}{FB}\frac{BD}{DC}=1$$
Ahroa, por Menelao vale que $\frac{CE}{EA}\frac{AF}{FB}\frac{BP}{PC}=1$. Combinando con lo primero, vale que $\frac{BD}{DC}=\frac{BP}{PC}$.
Similarmente, vamos $\frac{CE}{EA}=\frac{CQ}{QA}$ y $\frac{AF}{FB}=\frac{AR}{RB}$.
Combinando estas tres igualdades y reemplazándolas en la original, nos da que
$$\frac{CQ}{QA}\frac{AR}{RB}\frac{BP}{PC}=1$$
Por lo que, por Menelao, los tres puntos son colineales, como queríamos.

[Gianni De Rico]

Algunas cosas:

1. El post original decía que $X$ era el tripolar de $d$, cuando en realidad es el polo trilineal (como bien dice el título), así que le cambié eso.
2. El triángulo ceviano del punto $X$ respecto al triángulo $ABC$ es el triángulo $DEF$, con $D=AX\cap BC$, $E=BX\cap CA$ y $F=CX\cap AB$, creo que valdría la pena mencionar eso en el post, porque no es una terminología tan conocida.
3. Esto es un caso particular del Teorema de Desargues, lo que @BrunZo demostró es justamente la ida de Desargues (en el link que mandé lo hacen con más Menelaos, acá el Ceva que usa él es más rápido).
4. @El Apache yasabes no hace falta poner un espacio antes del último signo \$ en $\LaTeX$, funciona bien igual sin hacerlo.

[gerez_robert]

Pensé que iban a utilizar Desargues, acá dejo una demo de este estilo.
Por la definición de $P$ y $R$ es trivial que $\triangle FXD$ y $\triangle PBR$, están en perspectiva respecto de $E$, luego por el teorema de Desargues, las intersecciones de $PR$ y $FD$, de $BR$ y $XD$, y por ultimo, de $PB$ y $FX$, están alineadas. Ya tenemos que la intersección de $BR$ y $XD$ es $A$, y que ademas, la intersección de $FB$ y $FX$ es $C$, por tanto $FD$ intersectado con $PR$ debe estar sobre $AC$, como $FD$ ya intersecta a esta ultima recta en $Q$, tendriamos que $P, Q$ y $R$ están alineados.