Entrenamiento IMO 2021 - Problema 58

[Tomás Morcos Porras]

Sea $p$ un primo impar y definimos $N=\frac{1}{4}(p^3-p)-1$. Los números $1, 2, …, N$ están coloreados arbitrariamente de dos colores, rojo y azul. Para todo entero positivo $n\leq N$, denotamos $r (n)$ a la fracción de enteros de $\{1, 2, …, n\}$ que son rojos. Demostrar que existe un entero positivo $a\in\{1,2,...,p-1\}$ tal que $r(n)\neq\frac{a}{p}$ para todo $n=1,2,...,N$.