FOFO 11 Años - Problema 7

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Gianni De Rico

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FOFO 11 Años - Problema 7

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Sean $a,b,c$ reales positivos. Demostrar que$$\left (\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}\right )^2\geq (a+b+c)\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right ).$$
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

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Gianni De Rico

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Re: FOFO 11 Años - Problema 7

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Solución Oficial:
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Expandiendo todo y simplificando nos queda la desigualdad equivalente$$\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\geq \frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+3.$$Reemplazando $x=\dfrac{b}{c}$, $y=\dfrac{c}{a}$, $z=\dfrac{a}{b}$ nos queda que $x,y,z>0$ y que$$x^2+y^2+z^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq x+y+z+3.$$Si podemos probar que $x^2+\dfrac{1}{x}\geq x+1$, entonces sumando las desigualdades para $x,y,z$ obtenemos la desigualdad buscada.
Como $x>0$, entonces\begin{align*}x^2+\frac{1}{x}\geq x+1 & \iff x^3+1\geq x^2+x \\
& \iff x^3-x^2\geq x-1 \\
& \iff x^2(x-1)\geq x-1 \\
& \iff (x^2-1)(x-1)\geq 0 \\
& \iff (x+1)(x-1)(x-1)\geq 0 \\
& \iff (x+1)(x-1)^2\geq 0
\end{align*}y la última desigualdad es cierta pues $x+1>x>0$ y $(x-1)^2\geq 0$. Entonces estamos.
1  
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

EmRuzak

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Re: FOFO 11 Años - Problema 7

Mensaje sin leer por EmRuzak »

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Como $(3,0)$ mayoriza a $(2,1)$, por Muirhead $a^3+b^3\geq a^2b+ab^2$
multiplicando por $ac^2$
$a^4c^2+ab^3c^2\geq a^3bc^2+a^2b^2c^2$
de igual forma:
$b^4a^2+bc^3a^2\geq b^3ca^2+b^2c^2a^2$
$c^4b^2+ca^3b^2\geq c^3ab^2+c^2a^2b^2$

$a^4c^2+a^2b^4+b^2c^4+ab^3c^2+a^2bc^3+a^3b^2c\geq a^3bc^2+a^2b^3c+ab^2c^3+3a^2b^2c^2$

dividiendo por $a^2b^2c^2$ (que es mayor a $0$)

$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3$

$\frac{b^2}{c^2}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{a^2}{b^2}\geq 3+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}$

$(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b})^2\geq(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$)

BrunZo

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Re: FOFO 11 Años - Problema 7

Mensaje sin leer por BrunZo »

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Denotemos s=b/c+c/a+a/b y s'=c/b+b/a+a/c. Notemos que cambiar (a,b,c) -> (a,c,b) intercambia los valores de s y s', pero deja intacto el lado derecho de la desigualdad. Si s'<=s, al demostrar que (s')^2 >= (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) estamos demostrando que s^2 >= (a+b+c)(1/a+1/b+1/c), por lo que basta con demostrar la desigualdad poniendo en la izquiera al menor valor entre s y s'. Como total podemos permutar las variables para permutar s y s', podemos asumir que s<=s' y lo demostramos para s.
Ahora sí, expandimos cada lado para obtener
$$\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}+2s'\geq 3+s+s'$$
Por AM-GM es claro que para reales positivos x,y,z vale que x+y+z>=3(xyz)^(1/3). Con x=b^2/c^2, y=c^2/a^2, z=a^2/b^2, tenemos que xyz=1, de donde x+y+z>=3. Por otro lado, como s<=s', vale que 2s'>=s+s'. Entonces, comparando término a término tenemos la desigualdad deseada, y terminamos.
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