CIMA 2015 - P6

[Gianni De Rico]

Se considera, en el plano, el pentágono regular centrado en $(0,0)$ y con uno de sus vértices en $(1,0)$.
En cada paso se elige un lado y se voltea el pentágono haciéndolo girar sobre ese lado (es decir, con ese lado como bisagra) y se pinta de rojo el punto del plano que corresponde al centro del pentágono.
Se repite el procedimiento muchas veces.

• $\text{(a)}$ Probar que el subconjunto del plano formado por los puntos coloreables según los movimientos permitidos es denso.
• $\text{(b)}$ Probar que si dos puntos rojos (distintos) distan menos de $\varepsilon$, entonces son necesarios al menos $1/\varepsilon$ movimientos permitidos para llegar de uno al otro.