Olimpíada de Mayo 2022 N2 P2

[Matías V5]

Hay nueve tarjetas que tienen escritos los dígitos $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ y $9$, un dígito en cada tarjeta.
Usando todas las tarjetas se forman algunos números (por ejemplo, se podrían formar los números $8$, $213$, $94$, $65$ y $7$).

1. Si todos los números formados son primos, determinar el mínimo valor posible de su suma.
2. Si todos los números formados son compuestos, determinar el mínimo valor posible de su suma.

Nota: Un número $p$ es primo si sus únicos divisores son $1$ y $p$. Un número es compuesto si tiene más de dos divisores. El $1$ no es primo ni compuesto.

[Kechi]

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a)
Para que la suma sea mínima conviene formar los números más pequeños, por ejemplo de una cifra. Los únicos primos de una cifra que se pueden formar son $2$, $3$, $5$ y $7$. Luego queda formar números de $2$ cifras con los dígitos $1$, $4$, $6$, $8$ y $9$. Como hay solo $5$ dígitos voy a necesitar usar uno de los primos para formar $3$ números. Ahora, los dígitos $4$, $6$ y $8$ no pueden estar en las unidades porque sino formarían un número par (no primo), por lo que están en las decenas. Los demás dígitos estarán en las unidades. Entonces las suma mínima es $1+2+3+40+5+60+7+80+9=207$. Por ejemplo con los números $2, 3, 5, 41, 67, 89$

b)
Aplicando el mismo razonamiento que en a) los únicos compuestos de una cifra que se pueden formar son $4$, $6$, $8$ y $9$ y quedan los dígitos $1$, $2$, $3$, $5$ y $7$ para formar números de $2$ cifras. Nuevamente como hay $5$ dígitos habrá que usar uno de los compuestos para formar $3$ números. Para que la suma sea la menor posible conviene que en las decenas estén los dígitos más pequeños posibles: $1$, $2$ y $3$. Así la suma mínima sería $10+20+30+4+5+6+7+8+9=99$. Por ejemplo con los números $15, 27, 39, 4, 6, 8$

[Ulis7s]

Para la parte a)

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Como deben ser todos primos sabremos que ninguno será múltiplo de 2 ( entonces necesariamente el 4, el 6, y el 8 deberán ir en las decenas)
Luego para una caso mínimo debería sumar 1+2+3+40+5+60+7+80+9=207.
Un claro ejemplo de como seleccionar los números para que sumen 207 seria: Agarramos los primos de un digito que serian 2,3,5 y 7. Luego para los números de 2 dígitos nos quedan los dígitos: 1,4,6,8,9. Por lo tanto para que no se nos valla a números de 3 dígitos vamos a formar 41 y 89 y nos va a sobrar el 6 que vamos a usarlo con otro de 1 digito. Como 62,63 y 65 son compuestos y 67 es primo nos queda:
2,3,5,41,67,89 con suma 2+3+5+41+67+89=207 que cumple con lo pedidooo ☆

Para la parte b)

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Sabiendo que los números compuestos deben terminar en 4,6,8 o 9 es claro que debemos elegir los menores números en la decena para que la suma sea lo menor posible y como igual al caso a) nos van a quedar 3 números de dos dígitos y usaremos los menores en las decenas (en este caso 1, 2 y 3) O sea la suma mínima será 10+20+30+4+5+6+7+8+9=99. Acá como un ejemplo voy a usar el de @Kechi que efectivamente suma 99 y cumple lo pedido del problema ☆