Hallar todos los pares de números enteros positivos [math](m,n) tales que su suma es igual a [math]2016 y su multiplicación es divisible por [math]2016.
Por si alguno quiere irse un poco más allá de lo que el problema pide:
Hallar para todo entero [math]a>1 la cantidad de parejas de enteros positivos [math](m,n) tales que su suma es igual a [math]a y su multiplicación es divisible por [math]a.
La respuesta es (a/k)-1, donde k es el menor natural cuyo cuadrado es múltiplo de a. En particular en el problema del Provincial 2016 N2 P1, a=2016 y k=168 y la cantidad de parejas es 11.
Como primer paso debemos expresar a 2016 en su factorización en primos [math]2016=2^5.3^2.7
Ahora tenemos que hallar todos los pares de números [math]%(m;n) tal que [math]2016|m.n
Como el enunciado nos dice que [math]m+n=2016 entonces expresamos a [math]m como [math]m=2016-n y lo reemplazamos en la ecuación anterior. [math]2016|(2016-n).n Aplicando distributiva obtenemos. [math]2016|2016.n-n^2 El secreto acá está en que el 2016.n lo podemos descartar pues se cumple la siguiente propiedad.
Si [math]a|b también se cumple que [math]a|b-a.k siendo [math]k entero. [math]2016|2016.n-n^2-2016.n [math]2016|n^2ACLARACIÓN El signo menos del [math]n^2 también lo podemos desconsiderar porque 2016 va a dividir tanto a [math]-n^2 como a [math]n^2.
Luego de llegar a esta conclusión debemos darnos cuenta que [math]n como mínimo debe ser mayor o igual que [math]n=2^3.3.7=168 para que cuando hagamos la división [math]\frac{n^2}{2^5.3^2.7} se cancele el denominador y obtengamos un número entero.
También debemos darnos cuenta que [math]\frac{2016}{168}=12 así que sabemos que [math]n=168.t con [math]t perteneciendo al intervalo [1;11]. Si [math]t>12 entonces ocurriría que [math]m<0 y esto no puede pasar porque [math]m y [math]n son enteros positivos. Si [math]t=0 entonces [math]n=0 y el 0 no es considerado un entero positivo. Si [math]t=12 entonces [math]n=2016 y [math]m=0 y ocurriría lo mismo. Reemplazando los valores de [math]t obtenemos las 11 parejas.[math](168;1848) (336;1680) (504;1512) (672;1344) (840;1176) (1008;1008) (1176;840) (1344;672) (1512;504) (1680;336) (1848;168)
Notemos que podemos llegar a obtener una expresion cuadrática en la variable $n$. (y si hay una ecuación cuadrática, ¿que fórmula podemos usar para resolverla?
En efecto, retomando la notación de @Monazo vamos
a ´´continuar con las cuentas´´ ya que si $2016\mid m.n$ entonces existe un entero positivo $q$ tal que $m.n=2016.q$. Entonces,
$(2016-n)n=2016.q$ o equivalentemente $$0=n^2-2016n+2016.q$$ Ahora, mediante nuestra querida resolvente y más cuentitas, llegamos a que $ n= 1008\pm \sqrt{1008^2-2016.q}=1008\pm \sqrt{\square} $
donde $\square=1008^2-2016.q$. De esta ultima expresión, inocentemente podemos sacar factor común $2016$ y nos queda que
$$\square=2016(504-q)\geq 0 $$
Analizemos varias cuestiones de esta última expresión.
Primero, podemos notar que como $q$ es un entero positivo entonces $0 < q \leq 504 $. Si $q=0$ se llega a que $n=0$ y eso no puede pasar
por que $n$ es un entero positivo. Segundo, usando el hecho de que $2016= 2^5.3^2.7$, para que $\sqrt{\square}$ sea un entero debe pasar que
$\square$ sea un cuadrado perfecto y por lo tanto, $504-q= 2^a.3^b.7^c.p^d$ donde $a,b,c,d$ son enteros no negativos a determinar y $p$ es
algun entero positivo y primo distinto a los anteriores (en general, pueden ser mas pero se puede ver que no existe otro primo en dica factorización que verifique aparte del $5$ y $d=2$). Bueno, muestro un caso para que se vea que podemos obtener soluciones enteras:
si $a=c=1$ y $b=d=0$, entonces $n= 1008\pm \sqrt{2^6.3^2.7^2}= 1008\pm \sqrt{(2^3.3.7)^2}=1008\pm 168$ y por lo tanto las dos soluciones
enteras positivas son $n=1176$(si verifica) y $n= 840$(si verifica).
En fin, llegamos a $11$ parejas.
