Selectivo de Ibero 2014 Problema 4

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Matías V5

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Selectivo de Ibero 2014 Problema 4

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Hallar todos los números reales $a,b,c$ tales que$$a^2+b^2+c^2=26,\quad a+b=5\quad \text{y}\quad b+c\geq 7.$$
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mszew

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Re: Selectivo de Ibero 2014 Problema 4

Mensaje sin leer por mszew »

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reemplazando [math] y [math] con [math]
se obtiene
[math]
[math]
[math]
[math]
El lado derecho de la igualdad es [math] entonces [math] o [math]
Reemplazando [math] se obtiene
[math]
[math] contradiccion.

Entonces unica para solucion [math], [math] y [math]
LuchoLP

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Re: Selectivo de Ibero 2014 Problema 4

Mensaje sin leer por LuchoLP »

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[math] y, reemplazando en la primer ecuación, llegamos a que [math] es la raíz cuadrada de [math]. Reemplazando en la última ecuación llegamos a que [math]. Digamos [math], con [math] real. Luego [math]. De esto sale que [math], con lo cual [math]. Finalmente, [math], [math] y [math]. Cabe aclarar que despejado el valor de [math] en la primer ecuación se llega a raíz de [math], con lo cual también podría ser [math], pero si fuera eso no se cumpliría la tercer desigualdad, y estamos.
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Martín Vacas Vignolo
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Re: Selectivo de Ibero 2014 Problema 4

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo »

LuchoLP escribió:Cabe aclarar que despejado el valor de [math] en la primer ecuación se llega a raíz de [math], con lo cual también podría ser [math],
No. [math] y nada más que [math]. (dicho vulgarmente, es un número real! No lo podés ubicar en dos lugares de la recta...)

[math] sí tiene dos soluciones, [math] y [math].
[math]
LuchoLP

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Re: Selectivo de Ibero 2014 Problema 4

Mensaje sin leer por LuchoLP »

Por eso, reemplazando te queda [math], con lo cual en principio las soluciones son [math] y [math].
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Martín Vacas Vignolo
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Re: Selectivo de Ibero 2014 Problema 4

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo »

No dije nada :P
[math]
Uriel J

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Re: Selectivo de Ibero 2014 Problema 4

Mensaje sin leer por Uriel J »

Solución:
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Si $a < -1$ luego $b > 6$ y por ende $a^2 + b^2 + c^2 > 26$ Absurdo!
Luego $a \geq -1$
Es claro que $b = 5 - a$ y $c \geq a+ 2$
Luego $26 = a^2 + b^2 + c^2 \geq a^2 +(5 - a)^2 + (a + 2)^2 = 3a^2 - 6a + 29$
Entonces, $26 \geq 3a^2 - 6a + 29 \Rightarrow 0 \geq 3a^2 - 6a + 3$
$\frac{0}{3} = \frac{3a^2 - 6a + 3}{3}$ $\Rightarrow$ $0 \geq a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$ pero como $(a-1)^2 \geq 0$ entonces $(a-1)^2 = 0$ $\Rightarrow$ $a - 1= 0 \Rightarrow a = 1$
Si $a = 1$, luego $b= 4$ y por ende $c^2 = 9$ y las posibles solciones para $c$ son $c = 3$ o $c = -3$ pero si $c = -3$ entonces $b + c = 1$. Absurdo!
Luego, $c = 3$ y la unica terna $(a,b,c)$ que cumple las condiciones del enunciado es $(1,4,3)$
Nice bro, congratulations!
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Matías V5

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Re: Selectivo de Ibero 2014 Problema 4

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Ojo Jolo que
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Si $a+2$ llegara a ser negativo, entonces no es cierto que $c \geq a+2$ implique $c^2 \geq (a+2)^2$ (por ejemplo $3 > -5$ pero $3^2 < (-5)^2 = 25$). Acá no pasa porque lo primero que probás es que $a \geq -1$ así que $a+2 \geq 1 > 0$, pero valdría la pena mencionarlo.
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drynshock

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Re: Selectivo de Ibero 2014 Problema 4

Mensaje sin leer por drynshock »

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$a^2 + b^2 + c^2 = 26$
$a + b = 5$
$b + c \geq 7$

$b = 5 - a \Rightarrow $
  • $5-a + c \geq 7 \Rightarrow \boxed{c \geq a - 2}$
  • $a^2 + (5-a)^2 + c^2 = 26 \Rightarrow 2a^2 - 10a + c^2 = 1 \Rightarrow \boxed{c^2 = 10a - 2a^2 +1}$
Notemos que en $c^2 = 10a - 2a^2 +1, a \geq 0$ ya que en caso contrario $c \notin \mathbb R$. Sabiendo esto podemos decir que $c \geq 2 + a \Rightarrow c^2 \geq a^2 + 4a + 4$. Como sabíamos el valor de $c^2$, entonces reemplacemoslo en la inecuacion: $10a - 2a^2 +1 \geq a^2 + 4a + 4 \Rightarrow 6a \geq 3a^2 + 3 \Rightarrow 0 \geq a^2 - 2a +1 \Rightarrow 0 \geq (a-1)^2$, de lo cual esta claro que $a-1 = 0 \Rightarrow \boxed{a =1}$.

Y sabiendo el valor de $a$ quedan determinadas todas las soluciones ya que $b = 5 -a \Rightarrow \boxed{b = 4}$ y $a^2 + b^2 + c^2 = 26 \Rightarrow c^2 = 9 \Rightarrow \boxed{c =3}$.

Solamente consideramos el valor positivo ya que $c = -3$ no satisface la inecuacion $b+c \geq 7$
@Bauti.md ig // Ridin' in a getaway car // $\zeta (s) =\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}$
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