Hallar todos los números reales $a,b,c$ tales que$$a^2+b^2+c^2=26,\quad a+b=5\quad \text{y}\quad b+c\geq 7.$$
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reemplazando [math]a=5-b y [math]c=7-b+k con [math]k>=0
se obtiene [math]25+b^2-10b+b^2+(7-b)^2+k^2+2 (7-b) k=26 [math]3b^2-24b+49+k^2+2 (7-b) k=1 [math]3 (b-4)^2+2 (7-b) k=- k^2 [math]2 (7-b) k=- k^2-3 (b-4)^2
El lado derecho de la igualdad es [math]<=0 entonces [math]b>=7 o [math]k=0
Reemplazando [math]l=b-7>=0 se obtiene [math]3 (l+3)^2-2 l k+ k^2=0 [math]0=(k-l)^2+2 l^2+18 l+ 27 contradiccion.
Entonces unica para solucion [math]a=1, [math]b=4 y [math]c=3
[math]a=5-b y, reemplazando en la primer ecuación, llegamos a que [math]c es la raíz cuadrada de [math]10b-2b^{2}+1. Reemplazando en la última ecuación llegamos a que [math]b(b-8)<=-16. Digamos [math]b=k+4, con [math]k real. Luego [math]b(b-8)=(k+4)(k-4)=k^{2}-16<=-16. De esto sale que [math]k^{2}<=0, con lo cual [math]k=0. Finalmente, [math]b=4, [math]a=1 y [math]c=3. Cabe aclarar que despejado el valor de [math]c en la primer ecuación se llega a raíz de [math]9, con lo cual también podría ser [math]-3, pero si fuera eso no se cumpliría la tercer desigualdad, y estamos.
LuchoLP escribió:Cabe aclarar que despejado el valor de [math]c en la primer ecuación se llega a raíz de [math]9, con lo cual también podría ser [math]-3,
No. [math]\sqrt{9}=3 y nada más que [math]3. (dicho vulgarmente, es un número real! No lo podés ubicar en dos lugares de la recta...)
[math]x^2=9 sí tiene dos soluciones, [math]3 y [math]-3.
Si $a < -1$ luego $b > 6$ y por ende $a^2 + b^2 + c^2 > 26$ Absurdo!
Luego $a \geq -1$
Es claro que $b = 5 - a$ y $c \geq a+ 2$
Luego $26 = a^2 + b^2 + c^2 \geq a^2 +(5 - a)^2 + (a + 2)^2 = 3a^2 - 6a + 29$
Entonces, $26 \geq 3a^2 - 6a + 29 \Rightarrow 0 \geq 3a^2 - 6a + 3$
$\frac{0}{3} = \frac{3a^2 - 6a + 3}{3}$ $\Rightarrow$ $0 \geq a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$ pero como $(a-1)^2 \geq 0$ entonces $(a-1)^2 = 0$ $\Rightarrow$ $a - 1= 0 \Rightarrow a = 1$
Si $a = 1$, luego $b= 4$ y por ende $c^2 = 9$ y las posibles solciones para $c$ son $c = 3$ o $c = -3$ pero si $c = -3$ entonces $b + c = 1$. Absurdo!
Luego, $c = 3$ y la unica terna $(a,b,c)$ que cumple las condiciones del enunciado es $(1,4,3)$
Si $a+2$ llegara a ser negativo, entonces no es cierto que $c \geq a+2$ implique $c^2 \geq (a+2)^2$ (por ejemplo $3 > -5$ pero $3^2 < (-5)^2 = 25$). Acá no pasa porque lo primero que probás es que $a \geq -1$ así que $a+2 \geq 1 > 0$, pero valdría la pena mencionarlo.
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Notemos que en $c^2 = 10a - 2a^2 +1, a \geq 0$ ya que en caso contrario $c \notin \mathbb R$. Sabiendo esto podemos decir que $c \geq 2 + a \Rightarrow c^2 \geq a^2 + 4a + 4$. Como sabíamos el valor de $c^2$, entonces reemplacemoslo en la inecuacion: $10a - 2a^2 +1 \geq a^2 + 4a + 4 \Rightarrow 6a \geq 3a^2 + 3 \Rightarrow 0 \geq a^2 - 2a +1 \Rightarrow 0 \geq (a-1)^2$, de lo cual esta claro que $a-1 = 0 \Rightarrow \boxed{a =1}$.
Y sabiendo el valor de $a$ quedan determinadas todas las soluciones ya que $b = 5 -a \Rightarrow \boxed{b = 4}$ y $a^2 + b^2 + c^2 = 26 \Rightarrow c^2 = 9 \Rightarrow \boxed{c =3}$.
Solamente consideramos el valor positivo ya que $c = -3$ no satisface la inecuacion $b+c \geq 7$
@Bauti.md ig // Ridin' in a getaway car // $\zeta (s) =\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}$