Selectivo Ibero 2022 - P4

[NPCPepe]

Sea $n$ un entero positivo. Se colorea cada casilla de un tablero cuadrado de $n\times n$ de azul o de rojo. En total hay $k$ casillas azules en el tablero, Uri escribe al lado de cada fila el número de casillas azules de esa fila, elevado al cuadrado, y debajo de cada columna el número de casillas azules de esa columna, elevado al cuadrado. Finalmente suma los $2n$ números que escribió y obtiene el resultado $A$. Luego hace esos mismos cálculos pero contando en cada caso las casillas rojas (en lugar de las azules) y obtiene el resultado $R$. Si $A-R=50$, determinar todos los posibles valores de $k$, y para cada $k$ hallado, dar un ejemplo de un posible tablero.

[matematicas hijo :v]

Buenas
espero que este usted muy bien, ahora sin enrollarme, mi humilde solución abierta a cualquier duda o error que vea:

Spoiler: mostrar

marcamos como $x_n$ a como la cantidad de azules que hay en cada fila desde 1 a N y $y_n$ Las azules pero contando por columna desde 1 a N.Ahora lo mismo hacemos para rojas pero en vez de X para filas y Y para columnas lo haremos con D y C respectivamente reemplazando lo dado en el enunciado tenemos que:
$\sum_{i=1}^{n} x_i^2$ $+$ $\sum_{i=1}^{n} y_i^2$ = A
$\sum_{i=1}^{n} d_i^2$ $+$ $\sum_{i=1}^{n} c_i^2$ = R
$A-R = 50$ de lo que sale que $A = 50 + R$ pero ya sabemos que es R así que lo reemplazamos y lo pasamos a la izquierda obteniendo:
$\sum_{i=1}^{n} x_i^2$ $+$ $\sum_{i=1}^{n} y_i^2$ $-$ ($\sum_{i=1}^{n} d_i^2$ $+$ $\sum_{i=1}^{n} c_i^2$) $= 50$
luego notamos que $x_n^2$ y $d_n^2$ pertenecen a la misma fila así que si los juntamos puede haber algo..., lo mismo como $y_n^2$ y $c_n^2$:
$x_1^2$ $-$ $d_1^2$ $+$ $x_2^2$ $-$ $d_2^2$... $+$ $x_n^2$ $-$ $d_n^2$ $+$ $y_1^2$ $-$ $c_1^2$ $+$ $y_1^2$ $-$ $c_1^2$... $+$ $y_n^2$ $-$ $c_n^2$ $= 50$
pero cada uno de esas diferencias... son diferencias de cuadrados... y nosotros sabemos lo que significa!
($x_1$$-$$d_1$)($x_1$$+$$d_1$) $+$ ($x_2$$-$$d_2$)($x_2$$+$$d_2$)... $+$ ($y_n$$-$$c_n$)($y_n$$+$$c_n$) $= 50$
ahora notemos que $x_1$$+$$d_1$ es n ya que si sumamos la cantidad de azules más rojas que hay en una sola fila tenemos la fila completa que es la longitud del tablero: n.(lo mismo para las columnas)
($x_1$$-$$d_1$)(n) $+$ ($x_2$$-$$d_2$)(n)... $+$ ($y_n$$-$$c_n$)(n) $= 50$
lo cual es...
n($x_1$$-$$d_1$ $+$ $x_2$$-$$d_2$ $+$... $+$ $y_n$$-$$c_n$) $= 50$
pero $x_1$ + $x_2$ hasta $x_n$ es K y $y_1$ + $y_2$ hasta $y_n$ también es k y lo que queda es lo mismo pero con rojas que el total de rojas es $n^2$$- k$ contado dos veces así que es el doble:
$n(2k - 2(n^2 - k)) = 50$
que nos queda: $n(4k -2n^2) = 50$
como ambas expresiones( $n$ y $4k-2n^2$) son enteras y positivas(porque si $4k-2n^2$ es negativo n también lo es... absurdo) se tiene que las dos pueden ser (1,50) , (2,25) o (5,10) solo falta probar 6 pares de números y ya el caso n=1 creo que es imposible porque k se nos va a las nubes...
De probar esos 6 o 5 números se tiene que los únicos valor que cumplen son k=15 con n=5(osea un tablero 5x5) y k=13 con n=25(osea un tablero de 25x25), el n que sale aparte de las las dos respuestas es el tablero en donde se cumple eso... ahora solo faltan los ejemplos, dejados al lector.