Nacional 2012 P3 N1

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julianferres_

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Nacional 2012 P3 N1

Mensaje sin leer por julianferres_ »

Sea [math] un triángulo con circuncentro [math]. La recta [math] corta al lado [math] en [math]. Se sabe que [math] y [math]. Calcular los ángulos del triángulo.
ACLARACIÓN: El circuncentro del triángulo [math] es el centro de la circunferencia que pasa por [math], [math], [math]. Es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo.
tuvie

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Re: Nacional 2012 P3 N1

Mensaje sin leer por tuvie »

Subo la solucion manana porque me estoy quedando dormido, es sin trigonometria, pero dejo lo resultados:
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[math]
tuvie

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Re: Nacional 2012 P3 N1

Mensaje sin leer por tuvie »

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Sea $E$ el punto medio de $BC$. Como $BC=CD+DB\Rightarrow BC=1+1+\sqrt{2}=2+\sqrt{2}$ Como $EC=BE\Rightarrow EC=BE=\frac{2+\sqrt{2}}{2}=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$
En $\triangle{ODE}$, $\angle{OED}=90^{\circ}$,$OD=1$ y $DE=CD-EC=1+\sqrt{2}-1-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt2}{2}$. Planteando Pitagoras queda que $OE=DE=\frac{\sqrt2}{2}$ por lo que es un triangulo isosceles y sus respectivos angulos opuestos a los catetos miden $45^{\circ}$ cada uno. El angulo suplementario a $\angle{ODE}$ es $\angle{ODB}=135^{\circ}$. Como $OD=DB$, los angulos opuestos a estos lados miden $\frac{180-135}{2}=22^{\circ}30'=\angle{DBO}=\angle{DOB}$. Como $A$, $D$ y $O$ son colineales, $\angle{AOB}=180-22.5=157^{\circ}30'$ Como $O$ es el centro de la circunferencia que pasa por $A$, $B$ y $C$, $AO=BO=CO$ porque son radios. En el triangulo isosceles $AOB$, $\angle{ABO}=\angle{BAO}=\frac{180-157.5}{2}=11^{\circ}15'$. Con estos datos ya tenemos $\angle{B}=\angle{CBO}+\angle{OBA}=22^{\circ}30'+11^{\circ}15'=33^{\circ}45'$. Bueno ahora en $\triangle{BOC}$, $\angle{BOC}=180-\angle{BCO}-\angle{CBO}=135^{\circ}$
Ahora por angulos en un punto, $\angle{AOC}=360-\angle{AOB}-\angle{BOC}=67^{\circ}30'$ y por mismos metodos, los angulos en el triangulo $AOC$ miden $56^{\circ}15'$
Ahora nos queda reslover los angulos del triangulo:
$\begin{align*}\angle{A}=11^{\circ}15'+56^{\circ}15'\Rightarrow{\boxed{\angle{A}=67^{\circ}30'}}\\{\boxed{\angle{B}=33^{\circ}45'}}\\{\angle{C}=56^{\circ}15'+22^{\circ}30'\Rightarrow{\boxed{\angle{C}=78^{\circ}45'}}}\end{align*}$
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Gianni De Rico

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Re: Nacional 2012 P3 N1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

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Nacional 2012 N1 P3 - Dibujo.png
Primero hacemos angulitos.
Digamos que $C\widehat BO=\alpha$, entonces $O\widehat BC=\alpha$ y $B\widehat OD=\alpha$, así que por suma de ángulos interiores en el triángulo $BOC$ nos queda $D\widehat OC=180^\circ -3\alpha$. Entonces $C\widehat OA=3\alpha$, así que $O\widehat AC=A\widehat CO=90^\circ -\dfrac{3}{2}\alpha$. Por otro lado, $A\widehat OB=180^\circ -\alpha$, así que $B\widehat AO=O\widehat BA=\dfrac{\alpha}{2}$. Entonces $\widehat A=\dfrac{\alpha}{2}+90^\circ -\dfrac{3}{2}\alpha =90^\circ -\alpha$, $\widehat B=\alpha +\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{3}{2}\alpha$ y $\widehat C=\alpha +90^\circ -\dfrac{3}{2}\alpha =90^\circ -\dfrac{\alpha}{2}$.
Entonces nuestro problema ahora es calcular $\alpha$. Claramente, para hacer esto no necesitamos el punto $A$ (todas las medidas están en el triángulo $BOC$, lo único que necesitamos es saber que $BO=OC$), por lo que a partir de ahora lo borramos del dibujo. Vamos a ver dos formas de terminar el problema.

Forma 1:
Nacional 2012 N1 P3 - Forma 1.png
Marcamos $E$ en el lado $BC$ de manera que $CE=1$, entonces $DE=\sqrt{2}$. Miremos los triángulos $BOD$ y $COE$, tenemos que $BO=CO$, $BD=1=CE$ y $D\widehat BO=\alpha =E\widehat CO$, entonces $BOD$ y $COE$ tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente congruentes, de modo que son congruentes, así que $EO=DO=1$. Ahora, en el triángulo $DOE$ tenemos que $DO^2+EO^2=1^2+1^2=1+1=2$ y $DE^2=\sqrt{2}^2=2$, entonces $DO^2+EO^2=DE^2$, así que $DOE$ cumple Pitágoras, por lo que $D\widehat OE=90^\circ$. Como además $DO=EO$, tenemos que $E\widehat DO=45^\circ$. En el triángulo $BOD$ tenemos que $B\widehat OD=D\widehat BO=\alpha$, así que $O\widehat DB=180^\circ -2\alpha$, por lo que $E\widehat DO=2\alpha$. Entonces $2\alpha =45^\circ$, así que $\alpha =\dfrac{45^\circ}{2}$, que también podemos expresarlo como $\alpha =22^\circ 30'$. Nos queda entonces $\widehat A=67^\circ 30'$, $\widehat B=33^\circ 45'$ y $\widehat C=78^\circ 45'$.

Forma 2:
Nacional 2012 N1 P3 - Forma 2.png
Marcamos $E$ en el lado $BC$ de manera que $CE=\sqrt{2}$. Entonces $DE=1$, así que $DB=DO=DE$, lo que nos dice que $B\widehat OC=90^\circ$. La perpendicular a $OE$ por $C$ corta a la recta $OE$ en el punto $F$, entonces $CF$ es paralela a $BO$. Por alternos internos tenemos que $E\widehat CF=\alpha =O\widehat CE$, así que $CE$ es bisectriz de $O\widehat CF$ y $O\widehat CF=2\alpha$. Por el Teorema de la Bisectriz y por Thales resulta$$\frac{CO}{CF}=\frac{EO}{EF}=\frac{EB}{EC}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.$$Digamos que $CF=x$ y $OF=y$, entonces $CO=\sqrt{2}x$, así que por Pitágoras resulta$$x^2+y^2=CF^2+OF^2=CO^2=2x^2,$$con lo que $y^2=x^2$, de modo que $y=x$. Entonces $CFO$ es un triángulo rectángulo isósceles, con lo que $O\widehat CF=45^\circ$, pero $O\widehat CF=2\alpha$, así que $\alpha =\dfrac{45^\circ}{2}$, que también podemos expresarlo como $\alpha =22^\circ 30'$. Nos queda entonces $\widehat A=67^\circ 30'$, $\widehat B=33^\circ 45'$ y $\widehat C=78^\circ 45'$.
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