Regional 2016 N2 P3

[Matías V5]

En el triángulo isósceles [math]ABC con [math]AB = AC = 10 sean [math]M y [math]N en [math]BC, con [math]M entre [math]B y [math]N, [math]P en [math]AC y [math]Q en [math]AB tales que [math]MNPQ es un cuadrado. Se sabe que las medianas del triángulo [math]ABC pasan por el centro del cuadrado [math]MNPQ. Calcular la medida del segmento [math]BC.

[Omega]

Si te consideran el usar

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la formula de distancia entre dos puntos.. A mi me dio 9, sino pos na xD

[Juampi.espejo1]

A mi me dio

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2√50, que es 14,1

[jujumas]

Respuesta:

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El lado [math]BC mide [math]\sqrt{200}, que es aproximadamente [math]14,142.

Solución:

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Figura de análisis: https://gyazo.com/37c0b0f37231d135649821e82eac438c

Sean [math]AD, [math]BE y [math]CF nuestras medianas, tenemos que las tres pasan por el centro del cuadrado [math]G, por lo que concurren en este punto, y [math]G es el baricentro de [math]ABC. Como [math]ABC es isósceles, [math]AD es también altura, por lo que es paralela a los [math]QM y [math]PN del cuadrado, de donde [math]D y [math]J son respectivos puntos medios de [math]MN y [math]QP, y dado que [math]G es centro del cuadrado, [math]G es punto medio de [math]DJ Dado que las medianas de un triángulo se cortan en proporción [math]2 a [math]1, tenemos que [math]2GD=AG. Luego, [math]2GJ=AG, de donde [math]J es punto medio de [math]AG, y usando que [math]JG=JQ=JP, tenemos que [math]QJA y [math]PJA son dos triángulos rectángulos e isósceles, de donde al sumar ángulos tenemos que [math]B\hat{A}C es recto. Para terminar, podemos usar pitágoras en [math]ABC usando que los catetos miden [math]10, lo que nos da que [math]BC=\sqrt{10^2+10^2}=\sqrt{200}.

[fedeq]

Mi solución fue la misma que la de jujumas.
Me pareció demasiado simple para ser un regional, aunque había que darse cuenta de la igualdad...

[AndyDreamteam YT]

Yo no me di cuenta de eso, hice ese dibujo pero no llegaba a esas conclusiones. Felicitaciones a los que hayan aprobado, y a los que no, a seguir practicando

[GONZA2038]

A mi me dio ese resultado, pero le di otra justificación. Puse que en el vértice P del cuadrado que corta con AC se forma obviamente un ángulo recto, y que las aperturas restantes de cada lado eran iguales. Así 180°-90°=90°. 90°/2=45° cada uno. Así el triángulo rectángulo que me queda arriba tiene uno de los ángulos de 45°, por lo que el otro es igual, que sumado a su semejante de la izquierda, suma un ángulo recto. Así me queda un triángulo rectángulo isósceles, y aplicando el Teorema de Pitágoras pude llegar a V200 = 14,14...
Alguien me puede decir si esta bien? Graciass

[Helen]

Resolución:

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dibujo.png

AZ es perpendicular a BC porque ABC es un triángulo isósceles. AG=2/3AZ por propiedad del baricentro. Lado del cuadrado = 2GZ= 2/3 AZ. AO=OG=GZ=1/3 AZ. Los triángulos QOA y POA son rectángulos y AO=AO, QO=OP; entonces son congruentes por criterio LAL. A=90° porque si inscribimos el triángulo QAP en una circunferencia, el ángulo QOP (180°) es el central correspondiente al ángulo A, por lo tanto mide 90°
Ahora sabemos que el triángulo ABC es isósceles y simplemente hacemos pitágoras para hallar BC. Lado BC=√200