Regional 2016 N2 P3

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Matías V5

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Regional 2016 N2 P3

Mensaje sin leer por Matías V5 »

En el triángulo isósceles [math] con [math] sean [math] y [math] en [math], con [math] entre [math] y [math], [math] en [math] y [math] en [math] tales que [math] es un cuadrado. Se sabe que las medianas del triángulo [math] pasan por el centro del cuadrado [math]. Calcular la medida del segmento [math].
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
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Omega
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Re: Regional 2016 N2 P3

Mensaje sin leer por Omega »

Si te consideran el usar
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la formula de distancia entre dos puntos.. A mi me dio 9, sino pos na xD
En mi mente eso tenia sentido :lol:
Juampi.espejo1
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Re: Regional 2016 N2 P3

Mensaje sin leer por Juampi.espejo1 »

A mi me dio
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2√50, que es 14,1
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jujumas

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Re: Regional 2016 N2 P3

Mensaje sin leer por jujumas »

Respuesta:
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El lado [math] mide [math], que es aproximadamente [math].
Solución:
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Figura de análisis: https://gyazo.com/37c0b0f37231d135649821e82eac438c

Sean [math], [math] y [math] nuestras medianas, tenemos que las tres pasan por el centro del cuadrado [math], por lo que concurren en este punto, y [math] es el baricentro de [math]. Como [math] es isósceles, [math] es también altura, por lo que es paralela a los [math] y [math] del cuadrado, de donde [math] y [math] son respectivos puntos medios de [math] y [math], y dado que [math] es centro del cuadrado, [math] es punto medio de [math] Dado que las medianas de un triángulo se cortan en proporción [math] a [math], tenemos que [math]. Luego, [math], de donde [math] es punto medio de [math], y usando que [math], tenemos que [math] y [math] son dos triángulos rectángulos e isósceles, de donde al sumar ángulos tenemos que [math] es recto. Para terminar, podemos usar pitágoras en [math] usando que los catetos miden [math], lo que nos da que [math].
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fedeq

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Re: Regional 2016 N2 P3

Mensaje sin leer por fedeq »

Mi solución fue la misma que la de jujumas.
Me pareció demasiado simple para ser un regional, aunque había que darse cuenta de la igualdad...
AndyDreamteam YT
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Re: Regional 2016 N2 P3

Mensaje sin leer por AndyDreamteam YT »

Yo no me di cuenta de eso, hice ese dibujo pero no llegaba a esas conclusiones. Felicitaciones a los que hayan aprobado, y a los que no, a seguir practicando :D :D :D
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GONZA2038
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Re: Regional 2016 N2 P3

Mensaje sin leer por GONZA2038 »

A mi me dio ese resultado, pero le di otra justificación. Puse que en el vértice P del cuadrado que corta con AC se forma obviamente un ángulo recto, y que las aperturas restantes de cada lado eran iguales. Así 180°-90°=90°. 90°/2=45° cada uno. Así el triángulo rectángulo que me queda arriba tiene uno de los ángulos de 45°, por lo que el otro es igual, que sumado a su semejante de la izquierda, suma un ángulo recto. Así me queda un triángulo rectángulo isósceles, y aplicando el Teorema de Pitágoras pude llegar a V200 = 14,14...
Alguien me puede decir si esta bien? Graciass
Helen
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Re: Regional 2016 N2 P3

Mensaje sin leer por Helen »

Resolución:
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dibujo.png
AZ es perpendicular a BC porque ABC es un triángulo isósceles. AG=2/3AZ por propiedad del baricentro. Lado del cuadrado = 2GZ= 2/3 AZ. AO=OG=GZ=1/3 AZ. Los triángulos QOA y POA son rectángulos y AO=AO, QO=OP; entonces son congruentes por criterio LAL. A=90° porque si inscribimos el triángulo QAP en una circunferencia, el ángulo QOP (180°) es el central correspondiente al ángulo A, por lo tanto mide 90°
Ahora sabemos que el triángulo ABC es isósceles y simplemente hacemos pitágoras para hallar BC. Lado BC=√200
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