Rioplatense 2022 - N1 P4

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Matías V5

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Rioplatense 2022 - N1 P4

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Sea $L$ el número formado por $2022$ dígitos $1$, es decir: $L = \underbrace{11111\ldots11}_{2022 \text{ dígitos}}$.
Calcular la suma de todos los dígitos del número $9L^2 + 2L$.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=SoRiOoqao5Y
Ignacio Daniele
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Re: Rioplatense 2022 - N1 P4

Mensaje sin leer por Ignacio Daniele »

Spoiler: mostrar
Se tiene un número que voy a llamar X de la siguiente forma:
X=9L²+2L
Al inicio voy a ignorar cuánto vale L y voy a llegar a una forma más "linda" de escribir X.
Busco factor común:
X=L(9L+2)
Ahora tomo en cuenta el valor de L que es 2022 veces el 1. Para trabajar más cómodo, lo voy a escribir de otra forma más "linda" que me permitirá hqcer más cuentas.
L=10⁰+10¹+10²+10³+...+10²⁰²⁰+10²⁰²¹
Hay una propiedad que se puede demostrar con sistemas de numeración para enteros, que en este caso sirve, y también se la puede demostrar por inducción para que se aplique a todos los reales (cabe aclarar que no se aplica ni a 1 ni a 0) que dice que la sumatoria de las potencias de x(base) con exponentes desde el 0 hasta n es igual a [x^(n+1)-1]/(x-1), es decir, x⁰+x¹+...xⁿ=[x^(n+1)-1]/(x-1)
Ambas demostraciones las escribo abajo de todo.
Ahora tengo que L=(10²⁰²²-1)/9
Reemplazando:
X=[(10²⁰²²-1)/9]×[9×(10²⁰²²-1)/9+2]=
=[(10²⁰²²-1)/9]×(10²⁰²²-1+2)=
=[(10²⁰²²-1)/9]×(10²⁰²²+1)=
=[(10²⁰²²-1)(10²⁰²²+1)]/9=
=(10⁴⁰⁴⁴-1)/9
Usando la misma propiedad que antes, podemos ver que X es un número formado por excusivamente 4044 unos seguidos, entonces la suma de dígitos de X es 4044×1=4044.
Rta: 4044

Demostraciones de la propiedad utilizada

1) Sistemas de numeración:
Al igual que en el sistema decimal (el que usamos), en todos los otros sistemas de numeración, tomo uno con base x, el número siguiente al que se escribe yyyy tal que y es el dígito más grande permitico en el sistema utilizado es 10000. Al número yyyy se lo puede escribir como y*x⁰+y*x¹+y*x²+y*x³=y(x⁰+x¹+x²+x³)
Por otra parte, al número 10000 se lo puede escribir como 1*x⁴, y dado que 10000 es el número que le sigue a yyyy, y(x⁰+x¹+x²+x³)=x⁴-1
Por lo tanto:
(x⁰+x¹+x²+x³)=(x⁴-1)/y
En un sistema de numeración de base x, el dígito más grande permitido es x-1=>y=x-1 (o el equivalente), por ejemplo, en el decimal, x=10, y=9, se verifica que y=x-1 (9=10-1), lo mismo pasa en cualquier otro sistema.
Reemplazando:
(x⁰+x¹+x²+x³)=(x⁴-1)/(x-1)
Ahora, si en lugar de ser hasta x³ tengo hasta xⁿ, con el mismo procedimiento llego a que:
(x⁰+x¹+x²+x³+...+xⁿ)=[x^(n+1)-1]/(x-1)
El problema es que los sistemas de numeración usan bases enteras mayores a 1, por lo que no prueba que funcione con todos los reales distintos a 0 y 1.

2) Inducción:
Tomo que en algún momento se cumple que:
x⁰+x¹+x²+...+xⁿ=[(x^(n+1)-1]/(x-1)
Si añado otro término, x^(n+1):
x⁰+x¹+x²+...+xⁿ+x^(n+1)=[(x^(n+1)-1]/(x-1)+x^(n+1)=
=[(x^(n+1)-1+x^(n+1)(x-1)]/(x-1)=
=[(x^(n+1)-1+x^(n+2)-x^(n+1)]/(x-1)=
=[x^(n+2)-1]/(x-1)
Justo lo que se quería demostrar, esto sirve para cualquier x distinto de 1 (porque no se puede dividir por 0) y distinto de 0 (porque no se puede hacer 0⁰).
2  
Ignacio Daniele
Mensajes: 11
Registrado: Jue 26 May, 2022 8:27 pm

Re: Rioplatense 2022 - N1 P4

Mensaje sin leer por Ignacio Daniele »

Sobre la segunda demostración que usé en la solución, me faltó aclarar que
Spoiler: mostrar
ya se cumple de entrada porque si n=0:
(x¹-1)/(x-1)=(x-1)/(x-1)=1=x⁰
Entonces como ya demostré, si acá se cumple, con los otros n también.
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