Nacional 2020 N3 P1

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Turko Arias

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Nacional 2020 N3 P1

Mensaje sin leer por Turko Arias »

Para todo número entero positivo $n$, sea $S(n)$ la suma de los dígitos de $n$. Hallar, si existe, un número entero positivo $n$ de $171$ dígitos tal que $7$ divide a $S(n)$ y $7$ divide a $S(n+1)$.
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Dauphineg

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Re: Nacional 2020 N3 P1

Mensaje sin leer por Dauphineg »

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Si existe, por ejemplo $n=999993\underset{165}{\underbrace{99..99}}$ tiene $171$ dígitos, con $n+1=999994\underset{165}{\underbrace{00..00}}$
además $S(n)=1533=219.7$ y $S(n+1)=49=7.7$
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Gianni De Rico

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Re: Nacional 2020 N3 P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

By @Fedex
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Notemos que $4\cdot 9=36\equiv 1\pmod 7$, de modo que si $n=6\underbrace{0\ldots 0}_{166}9999$ entonces $n+1=6\underbrace{0\ldots 0}_{165}10000$, y así $S(n)=42$ y $S(n+1)=7$, que son ambos múltiplos de $7$.
1  
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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Fran5

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Re: Nacional 2020 N3 P1

Mensaje sin leer por Fran5 »

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El truco para trabajar con $S(n)$ y $S(n+1)$ es ver que si el númer no termina en $9$, entonces $S(n+1) = S(n)+1$, pues sólo aumenta el último dígito.

Si $n$ termina en $9$, entonces aumenta el primer dígito que no es $9$, y los $9s$ se convierten en $0$

Luego si $7$ divide a ambos números, entonces $n$ debe terminar en (varios) $9$.
En particular la cantidad de $9$ debe ser tal que la suma de estos $9$s sea congruente a $1 \pmod{7}$.

(Otra observación: Podemos poner dígitos $7$ en $n$ sin que nos moleste en $S(n)$ y $S(n+1)$)

Luego podemos tomar $n= 777\ldots 7769999$ y $n+1=777 \ldots 7770000$ donde

$S(n) = 166 \cdot 7 + 6 + 36 = 166 \cdot 7 + 6 \cdot 7$
$S(n+1) = 167 \cdot 7$
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro //
MathIQ

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Re: Nacional 2020 N3 P1

Mensaje sin leer por MathIQ »

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Nótese que sí o sí $n$ tiene que terminar en $9$, ya que de lo contrario si $n ≡ 0 (7)$, entonces $n+1 ≡ 0+1≡ 1 (7)$.Ahora nos preguntaremos:¿En cuántos nueves terminará al menos este número?
Para responder veamos que $9 ≡ 2 (7)$, llamemos $S$ a la suma de los demás dígitos sin contar los $x$ nueves que estaremos analizando, por lo tanto $S + x . 2 ≡ 0 (7)$
Veamos que si $x = 1$, entonces sí o sí $S ≡ 5$, por lo tanto $n+1$ terminará en $0$(sucede lo mismo con todos los $n$, ya que si $n$ termina en $x$ nueves, $n+1$ terminará en $x$ ceros,ya que ocurre un acarreo), por lo que $n+1 ≡ 5+1 ≡ 6 (7)$ y estamos buscando que $n ≡ n+1 ≡ 0 (7)$,por lo que $x =1$ es un absurdo.
Haciendo lo mismo con $x = 2$ llegamos a qué $S ≡ 3 (7)$ por lo que $n+1 ≡ 4 (7)$, absurdo.
Con $x=3$ llegamos a qué $S ≡ 1 (7)$ por lo que $n+1 ≡ 2 (7)$,absurdo.
Veamos que si $x = 4$ llegamos a qué $S ≡ 6$ por lo que $n+1 ≡ 7 (7)$ por lo que funciona $x = 4$ funciona.
Este paso se podría haber obviado debido a que si $S ≡ x(7)$ y $S+1 ≡ 0 (7)$ por lo que $S =6$ cumple, llegando a que si $2.x +6 ≡ 0 (7)$ y $x =4$ cumple por lo que $4$ nueves al final sería una opción para $n$.
Por lo dicho anteriormente sabemos que la suma de los primeros $167$ dígitos contando de izquierda a derecha debe ser congruente a $6$ módulo $7$, por lo que bastaría con poner $166$ sietes, un $6$ y $4$ nueves contando de izquierda a derecha, ejemplo encontrado por @Fran5.
Otro ejemplos sería $n =6777...7779999$.
Comprobemos:
Ejemplo 1:
En $n$:
$166 . 7 + 6 + 4 . 9 = 1204$ y $1204 ≡ 0 (7)$.
En $n+1$:
$166 . 7 + 7 = 1169$ y $1169 ≡ 0 (7)$.
Ejemplo 2:
En $n$:
$6 + 166 . 7 + 4 . 9 = 1204$ y $1204 ≡ 0 (7)$.
En $n+1$:
$6+165 . 7 + 8 = 1169$ y $1169 ≡ 0 (7)$.

:D
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marcoalonzo

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Re: Nacional 2020 N3 P1

Mensaje sin leer por marcoalonzo »

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Si $n$ no termina en $9$, $S(n+1)=S(n)+1$, que por enunciado $S(n)\equiv 0 \pmod7\Longrightarrow S(n+1)\equiv 1 \pmod7$, absurdo. Luego $n$ termina en $9$ y en consecuencia $n+1$ termina en $0$
Sea $n=A\underbrace{999\dots 9}_{k}$ siendo $A$ un entero positivo que no termina en $9$, $S(n)=S(A)+9k$ y $S(n+1)=S(A)+1$ ya que al sumar $1$ los $k$ $9$'s quedan en $0$ hasta llegar a $A$ que aumenta en el $1$ que se va "pasando".
Luego como $S(n)\equiv 0\pmod7$ y $S(n+1)\equiv 0 \pmod7$ ocurre que $S(n)\equiv S(n+1)\pmod7$, donde sustituyendo queda que $S(A)+9k\equiv S(A)+1\pmod7\Longrightarrow k\equiv 4 \pmod7$ por ser $4$ el inverso de $9$ en módulo $7$.
Además como $S(A)+1\equiv 0\pmod7$ debe pasar que $S(A)\equiv 6\pmod7$.
El número que más se acerca a $171$ y que deja $4$ en la divisón por $7$ es el $165$, o sea que nuestro $n$ contará con $165$ $9$'s.
Ahora nos quedan $6$ dígitos para llegar al $171$ que deben sumar $6$ o su congruente módulo $7$, que podrían ser $6$ $1$'s. Entonces nuestro $n$ tiene $A=111111$. Luego $n=111111\underbrace{999\dots 9}_{165}$, donde $S(n)=6\cdot 1+165\cdot 9=1491\equiv 0\pmod7$ y $S(n+1)=6\cdot 1+1=7\equiv 0\pmod7$.
Se concluye que existe un $n$ que cumple (hay varios ejemplos fáciles de encontrar según cómo armamos el problema), donde $n=111111\underbrace{999\dots 9}_{165}$
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🔮oráculo y magia negra🔮
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