Juli tiene $2n$ bolitas con números escritos en ellas. Él se dio cuenta que si se dividen las $2n$ bolitas en $n$ parejas, no importa cómo, siempre hay dos parejas con la misma suma de números escritos.
$\text{a)}$ Demostrar que hay $4$ bolitas con el mismo número escrito.
$\text{b)}$ Demostrar que hay a lo sumo $n-1$ números distintos escritos en las bolitas.
Vamos a prestar atención a la extrana condición del enunciado: Esta nos afirma que, sin importar cómo Juli empareje las bolitas, siempre va a haber dos parejas con la misma suma de números. Dicho en otras palabras, el enunciado asegura que es imposible que Juli pueda dividirlas en parejas con sumas todas distintas entre sí.
Vamos a resolver cada parte de la siguiente forma: Primero vamos a suponer que lo que nos pide probar es falso y vamos a ver que si esto ocurre, entonces Juli podría emparejar las bolitas en parejas con sumas todas distintas entre sí. Entonces, habríamos demostrado lo deseado por reducción al absurdo.
Parte A: Supongamos por el absurdo que no hay $4$ bolitas con el mismo número y veamos cómo dividirlas en parejas con sumas todas distintas.
Ordenemos las $2n$ bolitas en una fila en orden creciente, de modo que los valores repetidos queden juntos (algo así: $1,\, 1,\, 2,\, 3,\, 3,\, 3$). Vamos a llamar $a_1,\, a_2,\, a_3,\, \ldots,\, a_{2n}$ a las bolitas de la fila en orden. La forma de ordenarlos nos dice que
$$a_1\le a_2\le a_3\le\cdots\le a_{2n}.$$
Veamos qué pasa si Juli empareja $a_1$ con $a_2$, $a_3$ con $a_4$ y así siguiendo hasta $a_{2n-1}$ con $a_{2n}$. Como $a_i\le a_{i+3}$ y $a_{i+1}\le a_{i+2}$ para todo entero positivo $i$, sumando las desigualdades podemos afirmar que $a_i+a_{i+1}\le a_{i+2}+a_{i+3}$ para todo entero positivo $i$. Entonces
$$a_1+a_2\le a_3+a_4\le\cdots\le a_{n-1}+a_n.$$
Pero ahora, si ocurriera que $a_i=a_{i+3}$ entonces tendríamos que $a_{i+1}$ y $a_{i+2}$ están entre $a_i$ y $a_{i+3}$ que son iguales, luego los $4$ números son sí o sí iguales al mismo valor. Pero supusimos que esto no pasaba, así que no puede ocurrir la igualdad $a_i=a_{i+3}$ y podemos decir $a_i<a_{i+3}$. Luego, al sumar, la desigualdad $a_i+a_{i+1}<a_{i+2}+a_{i+3}$ queda estricta y
$$a_1+a_2< a_3+a_4< \cdots< a_{n-1}+a_n.$$
Por lo que conseguimos que las $n$ sumas sean distintas. Esto completa el absurdo y probamos que sí o sí hay $4$ bolitas iguales.
Parte B: Supongamos por el absurdo que no hay a lo sumo $n-1$ valores distintos, es decir, supongamos que hay $n$ números distintos (o más) escritos en las bolitas y veamos un procedimiento para dividirlo en parejas de sumas distintas.
Si hay $n$ o más valores distintos, podemos tomar los menores $n$ valores y ordenarlos de menor a mayor. Vamos a llamar $b_1,\, b_2,\, b_3,\, \ldots,\, b_n$ a estos $n$ valores en orden. La forma de ordenarlos nos dice que
$$b_1< b_2< b_3<\cdots <b_{n}$$
pues son valores distintos. Además, hay al menos una bolita con cada uno de dichos valores.
Separemos una bolita por cada uno de estos valores y ordenemos las $n$ bolitas restantes en una fila en orden creciente con las repetidas juntas como en la parte A. Vamos a llamar $c_1,\, c_2,\, c_3,\, \ldots,\, c_n$ a estas $n$ bolitas en orden y sabemos que
$$c_1\le c_2\le c_3\le\cdots\le c_{n}$$
(puede haber iguales pues estas bolitas no son sí o sí distintas; y también podrían ser iguales con las $n$ bolitas anteriores).
Veamos qué pasa si Juli empareja $b_1$ con $c_1$, $b_2$ con $c_2$ y así hasta $b_n$ con $c_n$. Como $b_i<b_{i+1}$ y $c_i\le c_{i+1}$ para todo entero positivo $i$, sumando las desigualdades podemos afirmar que
$$b_1+c_1<b_2+c_2<b_3+c_3<\cdots< b_n+c_n.$$
Por lo que conseguimos que las $n$ sumas sean distintas. Esto completa el absurdo y probamos que sí o sí hay como mucho $n-1$ valores distintos
Última edición por BrunZo el Mié 08 Feb, 2023 3:00 pm, editado 1 vez en total.
