"La CUARenTenA"- Problema 4

[Mórtimer]

Sean $a, b$ y $n$ enteros positivos tales que $a > b$ y $ab - 1 = n^2$. Probar que
$$a - b \geq \sqrt {4n - 3}$$
e indicar para qué valores se alcanza la igualdad

[Mórtimer]

Solución:

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Tenemos que
$$ab= \frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4} = n^2+1 \Rightarrow (a+b)^2=4(n^2+1)+(a-b)^2$$
Como $(a+b)^2$ es cuadrado y $4(n^2+1)+(a-b)^2>4n^2=(2n)^2$, podemos concluir que
$$(a+b)^2=4(n^2+1)+(a-b)^2 \geq (2n+1)^2 \Rightarrow (a-b)^2 \geq 4n-3 \Rightarrow a-b \geq \sqrt {4n-3}$$
Finalmente, la igualdad se da si y solo si $a+b=2n+1$, y además debe valer que $a-b=\sqrt{4n-3}$ es entero. Luego, $4n-3$ es un cuadrado impar, es decir que $4n-3=(2k-1)^2 \Rightarrow n=k^2-k+1$, con $k$ entero positivo. Tenemos ahora que $a+b=2(k^2-k+1)+1$ y $a-b=2k-1$, de lo cual obtenemos $a=k^2+1$ y $b=k^2-2k+2$.

RTA: la igualdad se da para los tríos $(a,b,n)=(k^2+1,k^2-2k+2,k^2-k+1), \forall \ k \in Z^+$ .